Encontre a função derivada
de:
Passo 1
O problema pede a derivada
da função
Informações dadas e o que devemos calcular:
Pergunta: encontrar
, ou seja, a derivada de cada termo e a soma (com os sinais correspondentes).
Passo 2
Vamos diferenciar termo a termo. Primeiro termo:
É conveniente reescrever como produto:
Regra que vamos usar aqui: regra do produto. A regra do produto diz que, para duas funções
e
,
Aqui
e
. Além disso precisaremos da derivada de
usando a regra da cadeia (derivada de potência).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais para
:
Para
usamos a regra da cadeia: se
com
, então
Logo
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Simplificamos
colocando em denominador comum
:
Colocando em único quociente:
Pronto, o primeiro termo está derivado e simplificado.
Passo 5
Agora o segundo termo:
Este é um composto de funções em cadeia: a função externa é
, com
. Dentro de
temos
, que por sua vez contém
, e dentro desta está
. Portanto usaremos a regra da cadeia várias vezes (cadeia em cadeia). Lembrete útil: a derivada de
em relação a
é
onde
.
Passo 6
Calculemos as derivadas internas passo a passo.
Seja
Derivada de
pela regra da cadeia:
primeiro, derivada da potência em relação a
é
. Então, com
,
primeiro, derivada da potência
Agora
pela regra da cadeia (derivada de
é
vezes a derivada do argumento).
Assim
Assim
Passo 7
Aplicando agora a derivada de
:
Substituindo
encontrado:
Podemos reescrever
como
se preferir, mas a forma com
fica mais compacta:
Passo 8
Agora o terceiro termo:
Regra útil: para base positiva constante
e função
, a derivada de
é
Aqui
e
. Então
. Logo
Mas atenção: na função original
esse termo aparece com sinal negativo:
. Portanto a derivada do termo final em
é
Passo 9
Agora somamos as derivadas dos três termos (respeitando sinais). Reunindo os resultados:
e a contribuição do terceiro termo (levando em conta o sinal negativo original) é
Portanto a derivada
é a soma dessas três expressões.