Encontre a função derivada f^{\prime} de:
f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+3}+\operatorname{tg}(\sqrt{\operatorname{sen}(4 x+1)})-5^{\cos x}

Passo 1

O problema pede a derivada f^{\prime} da função
f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+3}+\operatorname{tg}\big(\sqrt{\operatorname{sen}(4 x+1)}\big)-5^{\cos x}.
Informações dadas e o que devemos calcular:
\text{Dado: } f(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+3}+\tan\!\big(\sqrt{\sin(4x+1)}\big)-5^{\cos x}.
Pergunta: encontrar f^{\prime}(x), ou seja, a derivada de cada termo e a soma (com os sinais correspondentes).

Passo 2

Vamos diferenciar termo a termo. Primeiro termo:
T_1(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+3}.
É conveniente reescrever como produto:
T_1(x)=e^{x}\cdot (x^{2}+3)^{-1}.
Regra que vamos usar aqui: regra do produto. A regra do produto diz que, para duas funções u(x) e v(x),
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x)=e^{x} e v(x)=(x^{2}+3)^{-1}. Além disso precisaremos da derivada de v(x) usando a regra da cadeia (derivada de potência).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais para T_1:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Para v(x)=(x^{2}+3)^{-1} usamos a regra da cadeia: se v(x)=w(x)^{-1} com w(x)=x^{2}+3, então
v'(x)=-1\cdot w(x)^{-2}\cdot w'(x) = - (x^{2}+3)^{-2}\cdot (2x).
Logo
v'(x)=-\frac{2x}{(x^{2}+3)^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
T_1'(x)=u'v + uv' = e^{x}(x^{2}+3)^{-1} + e^{x}\left(-\frac{2x}{(x^{2}+3)^{2}}\right).

Passo 4

Simplificamos T_1'(x) colocando em denominador comum (x^{2}+3)^{2}:
T_1'(x)=\frac{e^{x}}{x^{2}+3}-\frac{2x e^{x}}{(x^{2}+3)^{2}}.
Colocando em único quociente:
T_1'(x)=\frac{e^{x}\big((x^{2}+3)-2x\big)}{(x^{2}+3)^{2}}=\frac{e^{x}\big(x^{2}-2x+3\big)}{(x^{2}+3)^{2}}.
Pronto, o primeiro termo está derivado e simplificado.

Passo 5

Agora o segundo termo:
T_2(x)=\tan\!\big(\sqrt{\sin(4x+1)}\big).
Este é um composto de funções em cadeia: a função externa é \tan(u), com u=\sqrt{\sin(4x+1)}. Dentro de u temos u=(\sin(4x+1))^{1/2}, que por sua vez contém \sin(4x+1), e dentro desta está 4x+1. Portanto usaremos a regra da cadeia várias vezes (cadeia em cadeia). Lembrete útil: a derivada de \tan(u) em relação a x é
\frac{d}{dx}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot u',
onde \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u).

Passo 6

Calculemos as derivadas internas passo a passo.
Seja
u(x)=\sqrt{\sin(4x+1)}=(\sin(4x+1))^{1/2}.
Derivada de u pela regra da cadeia:
primeiro, derivada da potência z^{1/2} em relação a z é \tfrac{1}{2}z^{-1/2}. Então, com z=\sin(4x+1),
u'(x)=\frac{1}{2}(\sin(4x+1))^{-1/2}\cdot \frac{d}{dx}\big(\sin(4x+1)\big).
Agora \frac{d}{dx}\sin(4x+1)=\cos(4x+1)\cdot 4 pela regra da cadeia (derivada de \sin é \cos vezes a derivada do argumento).
Assim
u'(x)=\frac{1}{2}(\sin(4x+1))^{-1/2}\cdot 4\cos(4x+1)=\frac{2\cos(4x+1)}{\sqrt{\sin(4x+1)}}.

Passo 7

Aplicando agora a derivada de \tan(u):
T_2'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(4x+1)}\big)\cdot u'(x).
Substituindo u'(x) encontrado:
T_2'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(4x+1)}\big)\cdot \frac{2\cos(4x+1)}{\sqrt{\sin(4x+1)}}.
Podemos reescrever \operatorname{sec}^{2} como 1/\cos^{2} se preferir, mas a forma com \operatorname{sec}^{2} fica mais compacta:
T_2'(x)=\frac{2\cos(4x+1)}{\sqrt{\sin(4x+1)}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(4x+1)}\big).

Passo 8

Agora o terceiro termo:
T_3(x)=5^{\cos x}.
Regra útil: para base positiva constante a e função g(x), a derivada de a^{g(x)} é
\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\ln(a)\cdot g'(x).
Aqui a=5 e g(x)=\cos x. Então g'(x)=-\sin x. Logo
T_3'(x)=5^{\cos x}\ln(5)\cdot (-\sin x) = -5^{\cos x}\ln(5)\sin x.
Mas atenção: na função original f(x) esse termo aparece com sinal negativo: -5^{\cos x}. Portanto a derivada do termo final em f é
\frac{d}{dx}\big(-5^{\cos x}\big)=-T_3'(x) = -\big(-5^{\cos x}\ln(5)\sin x\big)=5^{\cos x}\ln(5)\sin x.

Passo 9

Agora somamos as derivadas dos três termos (respeitando sinais). Reunindo os resultados:
T_1'(x)=\frac{e^{x}\big(x^{2}-2x+3\big)}{(x^{2}+3)^{2}},
T_2'(x)=\frac{2\cos(4x+1)}{\sqrt{\sin(4x+1)}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(4x+1)}\big),
e a contribuição do terceiro termo (levando em conta o sinal negativo original) é
+5^{\cos x}\ln(5)\sin x.
Portanto a derivada f^{\prime}(x) é a soma dessas três expressões.

Resposta

f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}\big(x^{2}-2x+3\big)}{(x^{2}+3)^{2}}+\frac{2\cos(4x+1)}{\sqrt{\sin(4x+1)}}\;\operatorname{sec}^{2}\!\big(\sqrt{\sin(4x+1)}\big)+5^{\cos x}\ln(5)\sin x

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