Resolva o problema de valor inicial
. Depois encontre
de modo que a solução tenda a zero quando
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) resolver o problema de valor inicial dado por
com condições
e
; (2) encontrar o valor de
tal que a solução resultante satisfaça
.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos achar a solução geral da equação diferencial homogênea de coeficientes constantes. A técnica padrão é tentar soluções da forma
. Substituindo em
obtemos a equação característica:
Isso vem de
e
; ao dividir por
(não nulo) aparece o polinômio acima.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
. Esta é uma equação quadrática; aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Calculemos a derivada
para aplicar
. Derivando termo a termo:
Agora aplicamos as condições iniciais em
:
Temos, portanto, o sistema linear para
e
:
Passo 6
Resolvendo o sistema por eliminação. Somando as duas equações para eliminar
:
Logo
Substituindo em
obtemos
Passo 7
Agora escrevemos a solução particular do problema de valor inicial, substituindo
e
:
Explique rapidinho o porquê dessa forma: cada termo é uma solução da equação homogênea (as exponenciais) e as constantes foram escolhidas para satisfazer
e
.
Passo 8
Queremos encontrar
tal que
. Observe o comportamento das exponenciais quando
:
Para que a combinação linear tenda a zero, o coeficiente do termo explosivo
deve ser zero; caso contrário a solução diverge para
ou
. Assim exigimos
Passo 9
Com
verificamos as constantes:
A solução correspondente é
que de fato satisfaz
porque
. Se
, o termo em
está presente e a solução não tende a zero.