Encontre a função derivada
de:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada
da função
Informações dadas e restrições importantes (domínio):
- O denominador não pode ser zero, então
. - A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Resolvendo o sinal (zeros/assinatura em e ), obtemos o domínio - Portanto só faz sentido falar na derivada em pontos desse domínio.
Passo 2
Reescrevo a função numa forma mais conveniente para derivar (potência):
Aqui a parte interna é
e a função externa é
com
.
Passo 3
Aplico a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
com
diferenciável em
e
diferenciável em
, então
No nosso caso
tem derivada
Logo, pela regra da cadeia,
onde
.
Passo 4
Agora calculo
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz: para
,
Aqui
e
. Então
e
. Aplicando,
Faço as contas no numerador:
Portanto
Passo 5
Substituo
na expressão de
:
Multiplico os fatores numéricos
:
Esta é uma forma válida e já correta da derivada, e usa a raiz original
que é real em todo o domínio.
Passo 6
Posso reescrever a expressão acima de modo mais simples, lembrando que
. Assim uma forma clara e válida em todo o domínio é
Para pontos em que
podemos simplificar ainda mais: escrevendo a raiz separando
e
e simplificando potências, chega-se a
Observação importante: a forma com
não é válida para
, por isso a forma com
é a opção mais geral para todo o domínio.