Encontre a função derivada f^{\prime} de:
f(x)=\sqrt{\frac{4 x}{2 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada f^{\prime} da função
f(x)=\sqrt{\frac{4x}{2x+1}}.
Informações dadas e restrições importantes (domínio):
  • O denominador não pode ser zero, então 2x+1\neq0\Rightarrow x\neq-\tfrac{1}{2}.
  • A expressão dentro da raiz deve ser não negativa: \frac{4x}{2x+1}\ge0.Resolvendo o sinal (zeros/assinatura em x=0 e x=-\tfrac12), obtemos o domínio x\in\big(-\infty,-\tfrac12\big)\cup[0,\infty).
  • Portanto só faz sentido falar na derivada em pontos desse domínio.

Passo 2

Reescrevo a função numa forma mais conveniente para derivar (potência):
f(x)=\left(\frac{4x}{2x+1}\right)^{1/2}.
Aqui a parte interna é g(x)=\dfrac{4x}{2x+1} e a função externa é h(u)=u^{1/2} com u=g(x).

Passo 3

Aplico a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se f(x)=h(g(x)) com h diferenciável em g(x) e g diferenciável em x, então
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso h(u)=u^{1/2} tem derivada
h'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
Logo, pela regra da cadeia,
f'(x)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{4x}{2x+1}\right)^{-1/2}\cdot g'(x),
onde g(x)=\dfrac{4x}{2x+1}.

Passo 4

Agora calculo g'(x) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz: para g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u(x)=4x e v(x)=2x+1. Então u'(x)=4 e v'(x)=2. Aplicando,
g'(x)=\frac{4(2x+1)-4x\cdot 2}{(2x+1)^2}.
Faço as contas no numerador:
4(2x+1)-4x\cdot 2 = 8x+4-8x = 4.
Portanto
g'(x)=\frac{4}{(2x+1)^2}.

Passo 5

Substituo g'(x) na expressão de f'(x):
f'(x)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{4x}{2x+1}\right)^{-1/2}\cdot\frac{4}{(2x+1)^2}.
Multiplico os fatores numéricos \tfrac{1}{2}\cdot 4=2:
f'(x)=2\,(2x+1)^{-2}\left(\frac{4x}{2x+1}\right)^{-1/2}.
Esta é uma forma válida e já correta da derivada, e usa a raiz original \sqrt{\frac{4x}{2x+1}} que é real em todo o domínio.

Passo 6

Posso reescrever a expressão acima de modo mais simples, lembrando que \left(\dfrac{4x}{2x+1}\right)^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4x}{2x+1}}}. Assim uma forma clara e válida em todo o domínio é
f'(x)=\frac{2}{(2x+1)^2\;\sqrt{\dfrac{4x}{2x+1}}}.
Para pontos em que x>0 podemos simplificar ainda mais: escrevendo a raiz separando 4x e 2x+1 e simplificando potências, chega-se a
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\,(2x+1)^{3/2}}\quad\text{(válido quando \(x>0\)).}á
Observação importante: a forma com \sqrt{x} não é válida para x<0, por isso a forma com \sqrt{\dfrac{4x}{2x+1}} é a opção mais geral para todo o domínio.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{(2x+1)^2\;\sqrt{\dfrac{4x}{2x+1}}},\quad x\in\big(-\infty,-\tfrac12\big)\cup[0,\infty).
\text{(Forma simplificada para }x>0\text{)}\quad f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\,(2x+1)^{3/2}}.

Exercícios relacionados