Encontre uma função
e um número real
tais que:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função f e um número real a tais que: 6 + ∫ₐˣ \frac{f(t)}{t²} dt = 2√x. O conteúdo aqui envolve equação integral e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter f e depois usar a condição inicial para encontrar a.
Passo 2
Para descobrir f, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, pois a integral dependente de x permite aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos: a derivada de ∫ₐˣ \frac{f(t)}{t²} dt é \frac{f(x)}{x²}. A derivada de 6 é zero. Logo,
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos: a derivada de ∫ₐˣ \frac{f(t)}{t²} dt é \frac{f(x)}{x²}. A derivada de 6 é zero. Logo,
A derivada do lado direito é
Igualando as derivadas temos
e portanto
Passo 3
Para achar a, note que em x=a o integral ∫ₐᵃ … dt é zero. Assim, na equação original: 6 + 0 = 2√a, ou seja