Encontre uma função f e um número real a tais que:
6+integrala^infty f(t)t^2 d t=2 raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f e um número real a tais que: 6 + ∫ₐˣ \frac{f(t)}{t²} dt = 2√x. O conteúdo aqui envolve equação integral e vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter f e depois usar a condição inicial para encontrar a.

Passo 2

Para descobrir f, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, pois a integral dependente de x permite aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos: a derivada de ∫ₐˣ \frac{f(t)}{t²} dt é \frac{f(x)}{x²}. A derivada de 6 é zero. Logo,
ddxl(6 + integrala^x f(t)t^2dtr)=f(x)x^2
A derivada do lado direito é
ddxl(2raizxr)=2cdot12raizx=1raizx
Igualando as derivadas temos
f(x)x^2=1raizx
e portanto
f(x)=x^2cdot1raizx=x^3/2

Passo 3

Para achar a, note que em x=a o integral ∫ₐᵃ … dt é zero. Assim, na equação original: 6 + 0 = 2√a, ou seja
2raiza=6Rightarrowraiza=3Rightarrow a=9

Resposta

f(t)=t^3/2 e a=9

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