Nos exercícios a seguir encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0 cos x-1+12 x^2x^4

Passo 1

Estamos buscando limx to 0 cos x - 1 + tfrac12 x^2x^4. Isso gera uma indeterminação 0/0. Como método mais direto, vamos usar a série de Taylor da função cos x em torno de zero.

Passo 2

A série de Taylor de cos x em torno de 0 até termos de ordem x^4 é:
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)

Passo 3

Substituindo essa expansão no numerador:
cos x - 1 + 12 x^2 = l(1 - tfracx^22 + tfracx^424 + O(x^6)r) - 1 + tfracx^22 = tfracx^424 + O(x^6)

Passo 4

Agora o quociente original fica:
tfracx^424 + O(x^6)x^4 = tfrac124 + O(x^2)
Quando x to 0, o termo O(x^2) some e o limite vale tfrac124.

Resposta

tfrac124

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