Verifique quais das EDO’s de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
\left[\frac{y(x)}{x}+6 x\right] d x+[\ln (x)-2] d y, \quad x>0$.

Passo 1

Estamos com a EDO
gl[y(x)x+6xgr],dx + [ln(x)-2],dy = 0, x>0
O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata, isto é, se existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) e partial psipartial y = N(x,y),
onde M(x,y)=tfracyx+6x e N(x,y)=ln(x)-2. Se for exata, vamos encontrar psi e escrever psi(x,y)=C.

Passo 2

Verificamos as derivadas parciais em relação a y e a x:
partial Mpartial y = partialpartial yl(yx+6xr) = 1x,
partial Npartial x = partialpartial xl(ln(x)-2r) = 1x
Como partial Mpartial y=partial Npartial x, a equação é exata em x>0.

Passo 3

Construímos a função potencial psi(x,y) integrando M em relação a x:
psi(x,y) = integrall(yx+6xr),dx = yln(x) + 3x^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Agora impomos
partial psipartial y = ln(x) + h'(y) stackrel!= N(x,y) = ln(x)-2
Isso dá h'(y)=-2, logo
h(y) = -2y + const
Portanto
psi(x,y) = yln(x) + 3x^2 - 2y,
e a solução implícita é psi(x,y)=C.

Resposta

A EDO é exata e a solução geral é
yln(x) + 3x^2 - 2y = C,
com C constante.

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