Verifique quais das EDO’s de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
\left[\frac{y(x)}{x}+6 x\right] d x+[\ln (x)-2] d y, \quad x>0$.
\left[\frac{y(x)}{x}+6 x\right] d x+[\ln (x)-2] d y, \quad x>0$.
Passo 1
Estamos com a EDO
O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata, isto é, se existe uma função potencial
tal que
onde
e
. Se for exata, vamos encontrar
e escrever
.
Passo 2
Verificamos as derivadas parciais em relação a
e a
:
Como
, a equação é exata em
.
Passo 3
Construímos a função potencial
integrando
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Agora impomos
Isso dá
, logo
Portanto
e a solução implícita é
.
Resposta
A EDO é exata e a solução geral é
com
constante.