Resolva as seguinte integrais usando a técnica de integração por frações parciais:
c) integral x^21+x^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^21+x^2,dx usando frações parciais. Esse conteúdo pertence a integração de funções racionais, e pra isso vamos precisar decompor o integrando em termos mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, a gente faz uma divisão de polinômios (que é equivalente à técnica de frações parciais) pra simplificar a expressão. Observa que
x^21+x^2 = (1+x^2) - 11+x^2 = 1 - 11+x^2
Agora a integral fica mais tranquila de calcular. Substituindo temos
integral x^21+x^2,dx = integral l(1 - 11+x^2r)dx = integral 1,dx - integral 11+x^2,dx
A gente já conhece essas integrais básicas: integral 1,dx = x + C1 e integral 11+x^2,dx = arctan(x) + C2. Então juntando tudo:
integral x^21+x^2,dx = x - arctan(x) + C, onde C = C1 - C2 é a constante geral de integração.

Resposta

x - \arctan(x) + C

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