A transformada de Laplace L de uma função f:[0,+infty) R é definida como
L(f(t))=lim N +infty integral0^N f(t) e^-s t d t
A integral dada acima é uma integral imprópria que, sob certas condições, converge para uma função F(s), isto é, a transformada de Laplace da função f(t) será a função F(s). Mostre que quando f(t)=t^2 tem-se
F(s)=L(t^2)=2s^3, se s>0
através dos seguintes passos:
a) Primeiro mostre, através do processo de integração por partes, que
integral t^2 e^-s t d t=-t^2 e^-s ts+2s[t e^-s t(-s)+1s e^-s t(-s)]
b) Em seguida, aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para obter
integral0^N t^2 e^-s t d t=-e^-N ss(N^2+2 Ns+2s^2)+2s^3
c) Conclua que quando N +infty, tem-se
lim N +infty e^-N ss(N^2+2 Ns+2s^2)=0
e assim
F(s)=lim N +infty integral0^N t^2 e^-s t d t=2s^3

Passo 1

A questão pede pra gente calcular a transformada de Laplace de f(t)=t^2, ou seja F(s)=L(t^2)=integral0^inftyt^2e^-stdt. Vamos usar integração por partes, o Teorema Fundamental do Cálculo e depois analisar o limite quando Nto+infty.

Passo 2

Começamos achando uma primitiva de t^2e^-st via duas integrações por partes. Primeiro, definimos u=t^2 e dv=e^-stdt, então du=2t,dt e v=-e^-st/s. Assim:
integral t^2e^-stdt = u,v - integral v,du = -t^2e^-sts + 2sintegral t e^-stdt
Agora, para integral t e^-stdt, repetimos: escolha u=t, dv=e^-stdt, daí du=dt, v=-e^-st/s. Logo:
integral t e^-stdt = -t e^-sts + 1sintegral e^-stdt = -t e^-sts - 1s^2e^-st
Substituindo de volta, obtemos
integral t^2e^-stdt = -t^2e^-sts + 2sl(-t e^-sts - e^-sts^2r),
que é exatamente a forma pedida no item (a).

Passo 3

Para o item (b), aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na primitiva achada:
integral0^Nt^2e^-stdt = l[-t^2e^-sts + 2sl(-t e^-sts - e^-sts^2r)r]0^N
Ao avaliar em t=N e em t=0 e subtrair, chega-se a
integral0^Nt^2e^-stdt = -e^-Nssl(N^2+2Ns+2s^2r)+2s^3,
exatamente o que o enunciado pede no item (b).

Passo 4

No item ©, basta notar que para s>0, o termo
e^-Nssl(N^2+2Ns+2s^2r)
decai para zero quando Nto+infty, pois o exponencial domina qualquer polinômio. Portanto
F(s)=limNtoinftyintegral0^Nt^2e^-stdt = 2s^3
E é isso!

Resposta

F(s)=dfrac2s^3, s>0.

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