A transformada de Laplace
de uma função
é definida como
A integral dada acima é uma integral imprópria que, sob certas condições, converge para uma função
, isto é, a transformada de Laplace da função
será a função
. Mostre que quando
tem-se
através dos seguintes passos:
a) Primeiro mostre, através do processo de integração por partes, que
b) Em seguida, aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para obter
c) Conclua que quando
, tem-se
e assim
a) Primeiro mostre, através do processo de integração por partes, que
Passo 1
A questão pede pra gente calcular a transformada de Laplace de
, ou seja
. Vamos usar integração por partes, o Teorema Fundamental do Cálculo e depois analisar o limite quando
.
Passo 2
Começamos achando uma primitiva de
via duas integrações por partes. Primeiro, definimos
e
, então
e
. Assim:
Agora, para
Substituindo de volta, obtemos
que é exatamente a forma pedida no item (a).
Passo 3
Para o item (b), aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na primitiva achada:
Ao avaliar em
exatamente o que o enunciado pede no item (b).
Passo 4
No item ©, basta notar que para
, o termo
decai para zero quando
E é isso!