Encontre a função g tal que:
a) integral0^x tg(t) d t=x+x^2.
b) (star) integral0^x^2 tg(t) d t=x+x^2

Passo 1

Temos dois itens.
(a)
integral0^x g(t),dt = x + x^2
(b)
integral0^x^2 g(t),dt = x + x^2
Em (a) vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para variável limite. Em (b) aplicamos também a regra da cadeia.

Passo 2

Para (a), o Teorema Fundamental diz que, se
F(x)=integral0^xg(t),dt,
então g(x)=F'(x). Como aqui F(x)=x+x^2, obtemos
g(x)=ddxl(x+x^2r)=1+2x

Passo 3

Para (b), defina
Phi(x)=integral0^x^2g(t),dt
Diferenciando em x e usando regra da cadeia,
Phi'(x)=g(x^2)cdot 2x
Por outro lado, do enunciado Phi(x)=x+x^2, logo
Phi'(x)=1+2x
Igualando as duas expressões,
2x,g(x^2)=1+2x

Passo 4

Isolando g(x^2) fica
g(x^2)=1+2x2x=12x+1
Para escrever em função da variável genérica t, ponha t=x^2 (logo x=raizt). Assim,
g(t)=1+2raizt2raizt=1+12raizt, t>0

Resposta

(a) g(x)=1+2x
(b) g(t)=1+dfrac12raizt.

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