Mostre que
(star) 17 raiz2 <= integral0^1 x^6raiz1+x^2 d x <= 17.

Passo 1

O enunciado pede para estimar
integral0^1x^6raiz1+x^2,dx
por duas quantidades mais simples. O conteúdo principal aqui é usar que a função
raiz1+x^2 é crescente em [0,1], logo 1/raiz1+x^2 é decrescente nesse intervalo.

Passo 2

Para todo xin[0,1] temos
1 = raiz1+0^2<= raiz1+x^2<= raiz1+1^2 = raiz2,
e, invertendo essa cadeia,
1raiz2<= 1raiz1+x^2<= 1
Multiplicando cada termo por x^6>=0, obtemos
x^6raiz2<= x^6raiz1+x^2<= x^6

Passo 3

Agora integramos de 0 a 1 e usamos a propriedade de ordenação das integrais:
integral0^1x^6raiz2,dx ;<=;integral0^1x^6raiz1+x^2,dx;<=;integral0^1x^6,dx
Como
integral0^1x^6,dx = [x^77]0^1 = 17,
segue-se que
integral0^1x^6raiz2,dx = 1raiz2integral0^1x^6,dx = 17raiz2
Portanto chegamos à desigualdade solicitada.

Resposta

17raiz2 <= integral0^1 x^6raiz1+x^2,dx <= 17

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