Encontre o domínio e esboce o gráfico de
f(x) = 1 + 2 x - x^2

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função . Vamos trabalhar com funções quadráticas, que são aquelas com o termo . Pra resolver isso, vamos precisar saber o que é o domínio de uma função e como identificar os pontos-chave para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que é uma função polinomial. Funções polinomiais são definidas para todos os números reais porque você pode substituir qualquer valor de sem problemas como divisão por zero ou raiz de número negativo.
Então, o domínio de é:

Passo 3

Agora, vamos esboçar o gráfico da função. A função é uma parábola. Como o coeficiente de é negativo ( ), sabemos que a parábola está voltada para baixo.
Para desenhar o gráfico, precisamos encontrar:
  1. Vértice da parábola.
  2. Interseções com os eixos.

Encontrando o Vértice

A fórmula para a coordenada do vértice em uma função quadrática é:
Aqui, e . Então:
Agora, substituímos na função para encontrar :
Então, o vértice é .

Interseções com os Eixos

Interseção com o eixo :
É quando :
Então, a interseção com o eixo é .
Interseções com o eixo :
É quando :
Rearranjando:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as interseções com o eixo são e .

Resposta

O domínio da função é (todos os números reais). O gráfico é uma parábola voltada para baixo com vértice em , interseção com o eixo em e interseções com o eixo em e .

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