Encontre a função inversa de seguinte função:
f(x)=\sqrt{3 x+5}.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\sqrt{3x+5}.
O que ele pede: encontrar a função inversa de f, ou seja, uma função f^{-1} tal que, para todo x no domínio de f^{-1},
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de f é f(x)=\sqrt{3x+5}.
  • Como está escrita com raiz quadrada, a raiz é a principal (não-negativa).

Passo 2

Antes de tentar inverter, precisamos saber o domínio de f, porque só funções com domínio e comportamento apropriados têm inversa bem definida. Como aparece uma raiz quadrada, a expressão dentro da raiz deve ser não-negativa. Então exigimos
3x+5 \ge 0.
Resolver isso:
3x \ge -5 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\dfrac{5}{3}.
Portanto o domínio de f é \left[-\dfrac{5}{3},\infty\right).

Passo 3

Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de f — isto é, o conjunto de valores que f realmente assume — é útil para saber o domínio da inversa. A função raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;} produz apenas valores não-negativos. Logo, para x no domínio de f,
f(x)=\sqrt{3x+5}\ge 0.
Assim a imagem de f é [0,\infty). Isso significa que, se existir f^{-1}, seu domínio será [0,\infty).

Passo 4

Agora calculamos a inversa algebricamente. Para isso, escrevemos y=f(x) e resolvemos para x em função de y:
y=\sqrt{3x+5}.
Observação importante: por definição y\ge 0 (já vimos isso). Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado — com cuidado, porque elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas; aqui estamos seguros pois y\ge 0:
y^2 = 3x+5.
Agora isolamos x:
3x = y^2-5, \qquad x = \dfrac{y^2-5}{3}.
Isso nos dá x em função de y. Essa expressão é a relação inversa, escrita em termos de y.

Passo 5

Para obter a fórmula usual da função inversa, trocamos o papel das variáveis (isto é, renomeamos y por x) — procedimento padrão para escrever f^{-1} como função de x. Fazendo isso, obtemos a expressão candidata
f^{-1}(x)=\dfrac{x^2-5}{3}.
Lembrete: o domínio de f^{-1} é a imagem de f, que já determinamos ser [0,\infty). Então essa fórmula vale para todo x\ge 0.

Passo 6

Verificação por composição (para garantir que não houve erro):
  1. Compor f com f^{-1} (primeiro f^{-1}, depois f): para x\ge 0,
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = \sqrt{\,3\cdot\frac{x^2-5}{3}+5\,} = \sqrt{x^2-5+5} = \sqrt{x^2} = |x|.
Como aqui estamos com x\ge 0, tem-se |x|=x. Logo f(f^{-1}(x))=x para todo x no domínio de f^{-1}.
  1. Compor f^{-1} com f (primeiro f, depois f^{-1}): para x\ge -\dfrac{5}{3},
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = \dfrac{\bigl(\sqrt{3x+5}\bigr)^2-5}{3} = \dfrac{3x+5-5}{3} = \dfrac{3x}{3} = x.
Portanto f^{-1}(f(x))=x para todo x no domínio de f. As duas composições confirmam que a fórmula encontrada é de fato a inversa, com os domínios apropriados.

Passo 7

Resumo do que foi encontrado (sem repetir passo-a-passo): a inversa existe porque f é estritamente crescente em seu domínio (raiz quadrada de expressão linear) e sua imagem é [0,\infty). A expressão algébrica da inversa foi obtida por isolar x após escrever y=\sqrt{3x+5} e elevar ao quadrado.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x^{2}-5}{3},\qquad \operatorname{dom}(f^{-1})=[0,\infty)

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