Encontre a função inversa de seguinte função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que ele pede: encontrar a função inversa de
, ou seja, uma função
tal que, para todo
no domínio de
,
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
é . - Como está escrita com raiz quadrada, a raiz é a principal (não-negativa).
Passo 2
Antes de tentar inverter, precisamos saber o domínio de
, porque só funções com domínio e comportamento apropriados têm inversa bem definida. Como aparece uma raiz quadrada, a expressão dentro da raiz deve ser não-negativa. Então exigimos
Resolver isso:
Portanto o domínio de
é
.
Passo 3
Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
— isto é, o conjunto de valores que
realmente assume — é útil para saber o domínio da inversa. A função raiz quadrada
produz apenas valores não-negativos. Logo, para
no domínio de
,
Assim a imagem de
é
. Isso significa que, se existir
, seu domínio será
.
Passo 4
Agora calculamos a inversa algebricamente. Para isso, escrevemos
e resolvemos para
em função de
:
Observação importante: por definição
(já vimos isso). Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado — com cuidado, porque elevar ao quadrado pode introduzir soluções extranhas; aqui estamos seguros pois
:
Agora isolamos
:
Isso nos dá
em função de
. Essa expressão é a relação inversa, escrita em termos de
.
Passo 5
Para obter a fórmula usual da função inversa, trocamos o papel das variáveis (isto é, renomeamos
por
) — procedimento padrão para escrever
como função de
. Fazendo isso, obtemos a expressão candidata
Lembrete: o domínio de
é a imagem de
, que já determinamos ser
. Então essa fórmula vale para todo
.
Passo 6
Verificação por composição (para garantir que não houve erro):
- Compor
com (primeiro , depois ): para ,
Como aqui estamos com
, tem-se
. Logo
para todo
no domínio de
.
- Compor
com (primeiro , depois ): para ,
Portanto
para todo
no domínio de
. As duas composições confirmam que a fórmula encontrada é de fato a inversa, com os domínios apropriados.
Passo 7
Resumo do que foi encontrado (sem repetir passo-a-passo): a inversa existe porque
é estritamente crescente em seu domínio (raiz quadrada de expressão linear) e sua imagem é
. A expressão algébrica da inversa foi obtida por isolar
após escrever
e elevar ao quadrado.