Encontre a função inversa de seguinte função:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a função inversa .
Informações importantes dadas:
e pede para encontrar a função inversa
Informações importantes dadas:
- A expressão algébrica de
é . - Não foram impostas restrições ao domínio, então assumir que o domínio de
é o conjunto dos números reais.
Passo 2
O que significa “função inversa” e qual o procedimento padrão para encontrá‑la.
- Uma função inversa
é uma função que “desfaz” o que faz: para todo do domínio de vale e para todo do domínio de vale . - Procedimento prático e muito usado: escrever
, trocar os papéis de e (ou seja, trocar as variáveis) e então resolver a equação resultante para . O resultado final, com em função de , é .
Passo 3
Aplicar o procedimento: escrevendo
e trocando
e
.
Começo por escrever
Começo por escrever
Agora troco
por
e
por
; isso dá
Agora o objetivo é isolar
em função de
.
Passo 4
Isolar
na equação
.
Somando aos dois lados:
Somando
Agora aplico a raiz cúbica (operaçao inversa da potenciação de expoente
):
Explicação didática: a raiz cúbica
é a operação que, aplicada a um número, dá o valor que ao ser elevado ao cubo retorna esse número. Para todo número real
existe exatamente uma raiz cúbica real
, por isso aqui não há ambiguidade.
Passo 5
Obter a expressão final da inversa trocando o nome da variável para a forma usual.
Ao substituir por
obtemos
Ao substituir
Passo 6
Domínio e imagem (valores possíveis) e por que a inversa existe.
- A função
é definida para todo e sua imagem é todo (a função cúbica é sobrejetora e também injetora, portanto bijetora). - Assim,
é invertível e o domínio de é e sua imagem também é .
Passo 7
Verificação por composição (confirmação de que a inversa está correta).
Calculo :
Calculo
Calculo
:
onde usei que
para todo
. As duas composições retornam
, então a inversa está correta.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para ganhar intuição.
Tomemos . Então
. Aplicando a inversa
. Funciona, a inversa devolve o valor original.
Tomemos