Encontre a função inversa de seguinte função:
f(x)=x^{3}-6.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6
e pede para encontrar a função inversa f^{-1}.
Informações importantes dadas:
  • A expressão algébrica de f é x^{3}-6.
  • Não foram impostas restrições ao domínio, então assumir que o domínio de f é o conjunto dos números reais.

Passo 2

O que significa “função inversa” e qual o procedimento padrão para encontrá‑la.
  • Uma função inversa f^{-1} é uma função que “desfaz” o que f faz: para todo x do domínio de f vale f^{-1}(f(x))=x e para todo x do domínio de f^{-1} vale f(f^{-1}(x))=x.
  • Procedimento prático e muito usado: escrever y=f(x), trocar os papéis de x e y (ou seja, trocar as variáveis) e então resolver a equação resultante para y. O resultado final, com y em função de x, é f^{-1}(x).

Passo 3

Aplicar o procedimento: escrevendo y=f(x) e trocando x e y.
Começo por escrever
y=x^{3}-6.
Agora troco x por y e y por x; isso dá
x=y^{3}-6.
Agora o objetivo é isolar y em função de x.

Passo 4

Isolar y na equação x=y^{3}-6.
Somando 6 aos dois lados:
x+6=y^{3}.
Agora aplico a raiz cúbica (operaçao inversa da potenciação de expoente 3):
y=\sqrt[3]{x+6}.
Explicação didática: a raiz cúbica \sqrt[3]{\cdot} é a operação que, aplicada a um número, dá o valor que ao ser elevado ao cubo retorna esse número. Para todo número real t existe exatamente uma raiz cúbica real \sqrt[3]{t}, por isso aqui não há ambiguidade.

Passo 5

Obter a expressão final da inversa trocando o nome da variável para a forma usual.
Ao substituir y por f^{-1}(x) obtemos
f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+6}.

Passo 6

Domínio e imagem (valores possíveis) e por que a inversa existe.
  • A função f(x)=x^{3}-6 é definida para todo x\in\mathbb{R} e sua imagem é todo \mathbb{R} (a função cúbica é sobrejetora e também injetora, portanto bijetora).
  • Assim, f é invertível e o domínio de f^{-1} é \mathbb{R} e sua imagem também é \mathbb{R}.

Passo 7

Verificação por composição (confirmação de que a inversa está correta).
Calculo f(f^{-1}(x)):
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=\bigl(\sqrt[3]{x+6}\bigr)^{3}-6=x+6-6=x.
Calculo f^{-1}(f(x)):
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt[3]{(x^{3}-6)+6}=\sqrt[3]{x^{3}}=x,
onde usei que \sqrt[3]{x^{3}}=x para todo x\in\mathbb{R}. As duas composições retornam x, então a inversa está correta.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para ganhar intuição.
Tomemos x=2. Então f(2)=2^{3}-6=8-6=2. Aplicando a inversa f^{-1}(2)=\sqrt[3]{2+6}=\sqrt[3]{8}=2. Funciona, a inversa devolve o valor original.

Resposta

f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+6}

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