Sejam f(x)=3 x+2 e g(x)=\sqrt{x}. Encontre as seguintes funções compostas e os respectivos domínios.
f \circ g.

Passo 1

O enunciado dá as funções f e g e pede a função composta f\circ g e o respectivo domínio. Informações fornecidas:
  • f(x)=3x+2.
  • g(x)=\sqrt{x}.
    O que é pedido:
  • Encontrar a expressão de (f\circ g)(x).
  • Determinar o domínio de (f\circ g).

Passo 2

Definição e regra de domínio para composição. A função composta f\circ g é definida por
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
O domínio de f\circ g é dado por
\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.
Isto significa: só podemos usar valores de x que façam sentido primeiro em g, e cujo valor g(x) também seja um número em que f esteja definida.

Passo 3

Determinar os domínios individuais.
  • Para f(x)=3x+2: trata-se de uma função afim (reta). Uma função linear/afim está definida para todo número real, logo \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Para g(x)=\sqrt{x}: a raiz quadrada só está definida (em números reais) quando o radicando é não negativo. Portanto \operatorname{Dom}(g)=[0,\infty).

Passo 4

Calcular a expressão de f(g(x)) substituindo g(x) em f.
Começamos com f(t)=3t+2 e fazemos t=g(x)=\sqrt{x}. Então
(f\circ g)(x)=f(g(x))=3\bigl(\sqrt{x}\bigr)+2.
Ou seja, a expressão é (f\circ g)(x)=3\sqrt{x}+2.

Passo 5

Determinar o domínio de (f\circ g) usando a regra do Passo 2.
Temos \operatorname{Dom}(g)=[0,\infty) e \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}.
A condição g(x)\in\operatorname{Dom}(f) é sempre verdadeira porque g(x)=\sqrt{x} é um número real (para x\in[0,\infty)) e \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R} aceita qualquer real. Logo não há restrição adicional além de x\in\operatorname{Dom}(g).
Portanto \operatorname{Dom}(f\circ g)=\operatorname{Dom}(g)=[0,\infty).

Passo 6

Verificação com exemplos (para fixar a ideia):
  • Em x=0: (f\circ g)(0)=3\sqrt{0}+2=3\cdot0+2=2. Válido porque 0\in[0,\infty).
  • Em x=4: (f\circ g)(4)=3\sqrt{4}+2=3\cdot2+2=8. Válido.
  • Em x=-1: não está permitido porque -1\notin[0,\infty); g(-1) não é real, então -1 não pertence ao domínio da composta.

Passo 7

Dica rápida para prova: sempre primeiro identifique \operatorname{Dom}(g) e \operatorname{Dom}(f). Em seguida aplique a regra
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.
Se \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}, a composta tem o mesmo domínio de g. Se f tiver restrições (como logaritmo, raiz em denominador, etc.), então é preciso impor g(x) satisfazer essas restrições.

Resposta

(f\circ g)(x)=3\sqrt{x}+2
\operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,\infty)

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