Sejam
e
. Encontre as seguintes funções compostas e os respectivos domínios.
.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede a função composta
e o respectivo domínio. Informações fornecidas:
-
. -
.
O que é pedido: - Encontrar a expressão de
. - Determinar o domínio de
.
Passo 2
Definição e regra de domínio para composição. A função composta
é definida por
.
O domínio de é dado por
.
Isto significa: só podemos usar valores de que façam sentido primeiro em
, e cujo valor
também seja um número em que
esteja definida.
O domínio de
Isto significa: só podemos usar valores de
Passo 3
Determinar os domínios individuais.
- Para
: trata-se de uma função afim (reta). Uma função linear/afim está definida para todo número real, logo . - Para
: a raiz quadrada só está definida (em números reais) quando o radicando é não negativo. Portanto .
Passo 4
Calcular a expressão de
substituindo
em
.
Começamos com e fazemos
. Então
.
Ou seja, a expressão é .
Começamos com
Ou seja, a expressão é
Passo 5
Determinar o domínio de
usando a regra do Passo 2.
Temos e
.
A condição é sempre verdadeira porque
é um número real (para
) e
aceita qualquer real. Logo não há restrição adicional além de
.
Portanto .
Temos
A condição
Portanto
Passo 6
Verificação com exemplos (para fixar a ideia):
- Em
: . Válido porque . - Em
: . Válido. - Em
: não está permitido porque ; não é real, então não pertence ao domínio da composta.
Passo 7
Dica rápida para prova: sempre primeiro identifique
e
. Em seguida aplique a regra
.
Se , a composta tem o mesmo domínio de
. Se
tiver restrições (como logaritmo, raiz em denominador, etc.), então é preciso impor
satisfazer essas restrições.
Se