Utilize as leis dos expoentes para calcular as seguintes quantidades:
9^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser calculada e pede o valor numérico:
9^{\frac{1}{3}}\,3^{\frac{1}{3}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos dois fatores com expoente \tfrac{1}{3}: 9^{\tfrac{1}{3}} e 3^{\tfrac{1}{3}}.
  • A tarefa é simplificar/avaliar o produto desses dois números.

Passo 2

Relembre algumas leis dos expoentes que vamos usar (explicando cada símbolo):
a^{r}\,a^{s}=a^{r+s},
onde a é uma base positiva (para evitar problemas com raízes de índice par) e r,s são expoentes reais; esta é a regra do produto com mesma base: somam-se os expoentes.
Outra regra útil:
\bigl(a^{r}\bigr)^{s}=a^{r s},
onde r e s são expoentes. Essa é a regra “potência de potência”: multiplica-se os expoentes.
Também a interpretação de expoente fracionário:
a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}},
onde m e n são inteiros (com n>0). Isso diz que a^{1/n} é a raiz n-ésima de a e a^{m/n} é a n-ésima raiz de a^{m}.
Exemplo rápido e intuitivo: \,8^{\tfrac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8.

Passo 3

Observação prática para simplificar: escrever 9 como potência de 3. Como 9=3^{2}, podemos reescrever o primeiro fator:
9^{\frac{1}{3}}=\bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{3}}.

Passo 4

Aplicando a regra “potência de potência” \bigl(a^{r}\bigr)^{s}=a^{r s} ao termo do Passo 3:
\bigl(3^{2}\bigr)^{\frac{1}{3}}=3^{2\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}}.
Portanto:
9^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}}.

Passo 5

Agora volte ao produto original, substituindo o que achamos:
9^{\frac{1}{3}}\,3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}}\,3^{\frac{1}{3}}.
Como as bases são iguais ( 3), use a regra do produto a^{r}a^{s}=a^{r+s}:
3^{\frac{2}{3}}\,3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}.

Passo 6

Some os expoentes fracionários:
\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1.
Logo
3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}=3^{1}.

Passo 7

Conclua o cálculo:
3^{1}=3.
Observação alternativa (mais curta): também se poderia ter combinado os fatores antes de expandir as potências usando (ab)^{r}=a^{r}b^{r} invertido, ou seja
9^{\frac{1}{3}}\,3^{\frac{1}{3}}=(9\cdot3)^{\frac{1}{3}}=27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3,
que dá o mesmo resultado e é um atalho prático.

Resposta

3

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