Encontre uma função par
e uma função ímpar
tal que
nos seguintes casos:
,
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar duas funções
e
com propriedades de paridade:
- Função dada:
. - O que é pedido: encontrar uma função par
e uma função ímpar tais que . - Condições de paridade que vamos usar:
-
é par se e somente se para todo . -
é ímpar se e somente se para todo .
-
Passo 2
Vamos usar a decomposição padrão de qualquer função em suas partes par e ímpar:
Explicando por que isso funciona (passo a passo):
- Soma:
, logo . - Paridade de
: Então é par. - Paridade de
: Então é ímpar.
Portanto essa fórmula fornece exatamente a decomposição procurada.
Passo 3
Calcular
para a nossa função:
Então as expressões da decomposição ficam
Passo 4
Simplificar
usando a identidade trigonométrica de soma de senos:
Aplicando com
e
:
-
. -
.
Logo
e
Passo 5
Simplificar
usando a identidade trigonométrica diferença de senos:
Com os mesmos
e
temos
e
, então
e
Passo 6
Verificações finais (para me deixar mais confiante e você também):
- Paridade de
: — confirma que é par. - Paridade de
: — confirma que é ímpar. - Soma:
pela fórmula de seno da soma, então a decomposição está correta.