Encontre uma função par f e uma função ímpar g tal que h=f+g nos seguintes casos:
h(x)=\sin (x+1),

Passo 1

O enunciado dá a função h e pede para encontrar duas funções f e g com propriedades de paridade:
  • Função dada: h(x)=\sin(x+1).
  • O que é pedido: encontrar uma função par f e uma função ímpar g tais que h=f+g.
  • Condições de paridade que vamos usar:
    • f é par se e somente se f(-x)=f(x) para todo x.
    • g é ímpar se e somente se g(-x)=-g(x) para todo x.

Passo 2

Vamos usar a decomposição padrão de qualquer função em suas partes par e ímpar:
f(x)=\frac{h(x)+h(-x)}{2},\qquad g(x)=\frac{h(x)-h(-x)}{2}.
Explicando por que isso funciona (passo a passo):
  • Soma: f(x)+g(x)=\dfrac{h(x)+h(-x)}{2}+\dfrac{h(x)-h(-x)}{2}=h(x), logo h=f+g.
  • Paridade de f: f(-x)=\frac{h(-x)+h(-(-x))}{2}=\frac{h(-x)+h(x)}{2}=f(x).Então f é par.
  • Paridade de g: g(-x)=\frac{h(-x)-h(x)}{2}=-\frac{h(x)-h(-x)}{2}=-g(x).Então g é ímpar.
    Portanto essa fórmula fornece exatamente a decomposição procurada.

Passo 3

Calcular h(-x) para a nossa função:
h(-x)=\sin(-x+1)=\sin(1-x).
Então as expressões da decomposição ficam
f(x)=\frac{\sin(x+1)+\sin(1-x)}{2}, \qquad g(x)=\frac{\sin(x+1)-\sin(1-x)}{2}.

Passo 4

Simplificar f(x) usando a identidade trigonométrica de soma de senos:
\sin u+\sin v = 2\sin\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\cos\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Aplicando com u=x+1 e v=1-x:
  • \dfrac{u+v}{2}=\dfrac{(x+1)+(1-x)}{2}=1.
  • \dfrac{u-v}{2}=\dfrac{(x+1)-(1-x)}{2}=x.
    Logo
\sin(x+1)+\sin(1-x)=2\sin(1)\cos(x),
e
f(x)=\frac{2\sin(1)\cos(x)}{2}=\sin(1)\cos(x).

Passo 5

Simplificar g(x) usando a identidade trigonométrica diferença de senos:
\sin u-\sin v = 2\cos\!\left(\frac{u+v}{2}\right)\sin\!\left(\frac{u-v}{2}\right).
Com os mesmos u e v temos \dfrac{u+v}{2}=1 e \dfrac{u-v}{2}=x, então
\sin(x+1)-\sin(1-x)=2\cos(1)\sin(x),
e
g(x)=\frac{2\cos(1)\sin(x)}{2}=\cos(1)\sin(x).

Passo 6

Verificações finais (para me deixar mais confiante e você também):
  • Paridade de f: f(-x)=\sin(1)\cos(-x)=\sin(1)\cos x=f(x) — confirma que f é par.
  • Paridade de g: g(-x)=\cos(1)\sin(-x)=-\cos(1)\sin x=-g(x) — confirma que g é ímpar.
  • Soma: f(x)+g(x)=\sin(1)\cos x+\cos(1)\sin x=\sin(x+1)=h(x) pela fórmula de seno da soma, então a decomposição está correta.

Resposta

f(x)=\sin(1)\cos(x)
g(x)=\cos(1)\sin(x)

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