Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da superfície dada pela equação
. Informações fornecidas:
- A equação da superfície é
. - Não há outras condições ou imagens fornecidas.
- A tarefa é representar geometricamente (esboçar) a superfície no espaço
.
Passo 2
Interpretando a equação: como a variável
não aparece na equação
, isso significa que
é livre — qualquer valor de
é permitido desde que
e
satisfaçam a relação. Portanto a superfície é o conjunto de todos os pontos
tais que:
Vou explicar o que isso produz geometricamente.
Passo 3
Primeiro encontro a intersecção dessa superfície com o plano
. Colocando
a equação fica
ou seja, uma reta no plano
. Para esboçar essa reta no plano
encontro dois pontos fáceis:
- tomando
obtém-se , logo o ponto pertence à reta; - tomando
obtém-se , logo o ponto pertence à reta.
Traçar a reta que passa pore dá a interseção com o plano .
Passo 4
Como
é livre, a superfície é simplesmente essa reta no plano
“esticada” na direção do eixo
. Em palavras simples: é um plano vertical — a reta
no plano
extrudida paralelamente ao eixo
.
Passo 5
Caracterização por vetor normal: a forma padrão
do plano aqui tem
,
,
,
. O vetor normal é
Observação importante: como a componente
do vetor normal é
, o plano é paralelo ao eixo
(ou seja, vertical). Outra forma da equação é
Passo 6
Forma paramétrica (útil para desenhar pontos no plano): tomo um ponto conhecido da superfície, por exemplo
. Dois vetores diretores lineares do plano podem ser
Eles satisfazem a condição de permanecer no plano (
tem
e
tem
). Então a parametrização é
com parâmetros
. Isso gera todos os pontos do plano.
Passo 7
Como esboçar à mão (passo a passo prático):
- Desenhe os três eixos
, e com para cima. - No plano
marque os pontos e e trace a reta passando por eles — essa é a interseção com o plano horizontal. - A partir de vários pontos dessa reta desenhe segmentos verticais (paralelos ao eixo
) para cima e para baixo; a coleção desses segmentos forma o plano. - Identifique que o plano não corta o eixo
(não existe ponto com que satisfaça a equação), e que qualquer seção por um plano fixa dá a mesma reta deslocada em .
Passo 8
Algumas observações úteis para a prova e para entender melhor:
- Interseções com planos coordenados: com
constante a interseção é sempre a reta ; com constante ou constante a interseção é uma reta inclinada no plano vertical. - Distância do plano à origem (quando útil) pode ser calculada por fórmula: distância
.
Resposta
Plano vertical definido por
, isto é, a reta
no plano
extrudida paralelamente ao eixo
.
Equação vetorial/normal: .
Parametrização: com
.
Equação vetorial/normal:
Parametrização: