Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
x+2 y-6=0

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da superfície dada pela equação \,x+2y-6=0\,. Informações fornecidas:
  • A equação da superfície é \,x+2y-6=0\,.
  • Não há outras condições ou imagens fornecidas.
  • A tarefa é representar geometricamente (esboçar) a superfície no espaço \mathbb{R}^3.

Passo 2

Interpretando a equação: como a variável z não aparece na equação \,x+2y-6=0\,, isso significa que z é livre — qualquer valor de z é permitido desde que x e y satisfaçam a relação. Portanto a superfície é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que:
x+2y-6=0.
Vou explicar o que isso produz geometricamente.

Passo 3

Primeiro encontro a intersecção dessa superfície com o plano z=0. Colocando z=0 a equação fica
x+2y-6=0,
ou seja, uma reta no plano xy. Para esboçar essa reta no plano z=0 encontro dois pontos fáceis:
  • tomando y=0 obtém-se x=6, logo o ponto (6,0,0) pertence à reta;
  • tomando x=0 obtém-se y=3, logo o ponto (0,3,0) pertence à reta.
    Traçar a reta que passa por (6,0,0) e (0,3,0) dá a interseção com o plano z=0.

Passo 4

Como z é livre, a superfície é simplesmente essa reta no plano z=0 “esticada” na direção do eixo z. Em palavras simples: é um plano vertical — a reta x+2y-6=0 no plano z=0 extrudida paralelamente ao eixo z.

Passo 5

Caracterização por vetor normal: a forma padrão ax+by+cz=d do plano aqui tem a=1, b=2, c=0, d=6. O vetor normal é
\mathbf{n}=(1,2,0).
Observação importante: como a componente z do vetor normal é 0, o plano é paralelo ao eixo z (ou seja, vertical). Outra forma da equação é
(1,2,0)\cdot(x,y,z)=6.

Passo 6

Forma paramétrica (útil para desenhar pontos no plano): tomo um ponto conhecido da superfície, por exemplo P_0=(6,0,0). Dois vetores diretores lineares do plano podem ser
\mathbf{u}=(-2,1,0)\quad\text{e}\quad \mathbf{v}=(0,0,1).
Eles satisfazem a condição de permanecer no plano ( \mathbf{u} tem dx+2dy=0 e \mathbf{v} tem dx+2dy=0). Então a parametrização é
x=6-2s,\qquad y=s,\qquad z=t,
com parâmetros \,s,t\in\mathbb{R}. Isso gera todos os pontos do plano.

Passo 7

Como esboçar à mão (passo a passo prático):
  1. Desenhe os três eixos x, y e z com z para cima.
  2. No plano z=0 marque os pontos (6,0,0) e (0,3,0) e trace a reta passando por eles — essa é a interseção com o plano horizontal.
  3. A partir de vários pontos dessa reta desenhe segmentos verticais (paralelos ao eixo z) para cima e para baixo; a coleção desses segmentos forma o plano.
  4. Identifique que o plano não corta o eixo z (não existe ponto com x=0,y=0 que satisfaça a equação), e que qualquer seção por um plano z=z_0 fixa dá a mesma reta deslocada em z.

Passo 8

Algumas observações úteis para a prova e para entender melhor:
  • Interseções com planos coordenados: com z= constante a interseção é sempre a reta x+2y-6=0; com x= constante ou y= constante a interseção é uma reta inclinada no plano vertical.
  • Distância do plano à origem (quando útil) pode ser calculada por fórmula: distância =\dfrac{|1\cdot0+2\cdot0-6|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}.

Resposta

Plano vertical definido por \,x+2y-6=0, isto é, a reta \,x+2y-6=0 no plano z=0 extrudida paralelamente ao eixo z.
Equação vetorial/normal: (1,2,0)\cdot(x,y,z)=6.
Parametrização: \;x=6-2s,\;y=s,\;z=t\; com s,t\in\mathbb{R}.

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