Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, no caso afirmativo, encontre o seu período fundamental:
,
Passo 1
O enunciado pede que se verifique se a função
é periódica e, se for, que se determine o seu período fundamental. A função dada é
As perguntas são:
-
é periódica? - Se sim, qual é o período fundamental de
?
Passo 2
Definição útil (essa é a ferramenta que vamos usar): uma função
é periódica se existir um número real
tal que
Qualquer
que satisfaça isso é chamado de período de
. O período fundamental (ou período primitivo) é o menor
com essa propriedade. É importante: precisamos do menor
que funciona para todos os
.
Passo 3
Conhecimento básico sobre a função seno (esta é outra ferramenta): a função
é periódica em
com período
. Ou seja,
Agora use a substituição
. Então
com
.
Passo 4
Procure
tal que
para todo
. Calcule
Queremos
para todo
. A igualdade
para todo
e um deslocamento global em
só pode ser garantida se o deslocamento
for um múltiplo de
. Portanto precisamos de
para algum inteiro
. (Observação: embora exista outra família de soluções pontuais de
do tipo
, essas não podem dar uma igualdade válida para todo
porque envolveriam
de forma não cancelável; por isso descartamos essa opção quando pedimos igualdade para todo
.)
Passo 5
Da condição
obtemos
Como queremos
, tomamos
. O menor valor positivo ocorre com
, dando
Passo 6
Verificação rápida: com
,
logo
é realmente um período. Não existe período positivo menor que
que satisfaça a igualdade para todo
, portanto
é o período fundamental.
Resposta
A função
é periódica com período fundamental
.