Verifique quais das funções abaixo são periódicas e, no caso afirmativo, encontre o seu período fundamental:
f(x)=\sin (2 x),

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se a função f é periódica e, se for, que se determine o seu período fundamental. A função dada é
f(x)=\sin(2x).
As perguntas são:
  • f é periódica?
  • Se sim, qual é o período fundamental de f?

Passo 2

Definição útil (essa é a ferramenta que vamos usar): uma função g é periódica se existir um número real T>0 tal que
g(x+T)=g(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Qualquer T que satisfaça isso é chamado de período de g. O período fundamental (ou período primitivo) é o menor T>0 com essa propriedade. É importante: precisamos do menor T>0 que funciona para todos os x.

Passo 3

Conhecimento básico sobre a função seno (esta é outra ferramenta): a função \sin(u) é periódica em u com período 2\pi. Ou seja,
\sin(u+2\pi)=\sin(u)\quad\text{para todo }u.
Agora use a substituição u=2x. Então f(x)=\sin(2x)=\sin(u) com u=2x.

Passo 4

Procure T>0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Calcule
f(x+T)=\sin(2(x+T))=\sin(2x+2T).
Queremos \sin(2x+2T)=\sin(2x) para todo x. A igualdade \sin(a)=\sin(b) para todo a e um deslocamento global em a só pode ser garantida se o deslocamento b-a for um múltiplo de 2\pi. Portanto precisamos de
2T = 2\pi n
para algum inteiro n. (Observação: embora exista outra família de soluções pontuais de \sin(a)=\sin(b) do tipo b=\pi-a+2\pi n, essas não podem dar uma igualdade válida para todo x porque envolveriam x de forma não cancelável; por isso descartamos essa opção quando pedimos igualdade para todo x.)

Passo 5

Da condição 2T=2\pi n obtemos
T=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Como queremos T>0, tomamos n=1,2,3,\dots. O menor valor positivo ocorre com n=1, dando
T=\pi.

Passo 6

Verificação rápida: com T=\pi,
f(x+\pi)=\sin(2x+2\pi)=\sin(2x)=f(x),
logo \pi é realmente um período. Não existe período positivo menor que \pi que satisfaça a igualdade para todo x, portanto \pi é o período fundamental.

Resposta

A função f(x)=\sin(2x) é periódica com período fundamental \pi.

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