Seja f: R R a função dada por f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3). Encontre retas que tenham:
exatamente 4 interseções com o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede pra achar retas que intersectem o gráfico de f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3) exatamente quatro vezes. O conteúdo é estudo de extremos de um polinômio de grau 4, e precisaremos usar derivadas para encontrar os valores máximos e mínimos locais de f.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos f’(x). Pra simplificar, defina t=x−1.5. Então
f(x)=t^4-2.5t^2+0.5625,
f'(x)=dfdt=4t^3-5t,
como dt/dx=1, temos
f'(x)=4(x-1.5)^3-5(x-1.5)= (x-1.5)l[4(x-1.5)^2-5r]

Passo 3

Igualando a zero, os pontos críticos são
x-1.5=0implies x=1.5,
4(x-1.5)^2-5=0implies (x-1.5)^2=5/4implies x=1.5pmraiz52

Passo 4

Agora avaliamos f nesses pontos:
f(1.5)=0.5625=tfrac916,
fl(1.5pmtfracraiz52r)=-1

Passo 5

Pelo sinal de f’’ ou pelo formato em “W”, x=1.5 é máximo local (f=9/16) e os outros dois são mínimos iguais (f=−1).
Uma reta horizontal y=c intersecta f(x) em quatro pontos distintos se e só se c ficar estritamente entre o mínimo e o máximo locais. Portanto,
As retas horizontais y=c com −1<c<9/16 têm exatamente quatro interseções com o gráfico de f.

Resposta

As retas horizontais y=c com -1.

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