Seja
a função dada por
. Encontre retas que tenham:
exatamente 4 interseções com o gráfico de
.
exatamente 4 interseções com o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede pra achar retas que intersectem o gráfico de f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3) exatamente quatro vezes. O conteúdo é estudo de extremos de um polinômio de grau 4, e precisaremos usar derivadas para encontrar os valores máximos e mínimos locais de f.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos f’(x). Pra simplificar, defina t=x−1.5. Então
como dt/dx=1, temos
Passo 3
Igualando a zero, os pontos críticos são
Passo 4
Agora avaliamos f nesses pontos:
Passo 5
Pelo sinal de f’’ ou pelo formato em “W”, x=1.5 é máximo local (f=9/16) e os outros dois são mínimos iguais (f=−1).
Uma reta horizontal y=c intersecta f(x) em quatro pontos distintos se e só se c ficar estritamente entre o mínimo e o máximo locais. Portanto,
As retas horizontais y=c com −1<c<9/16 têm exatamente quatro interseções com o gráfico de f.
Uma reta horizontal y=c intersecta f(x) em quatro pontos distintos se e só se c ficar estritamente entre o mínimo e o máximo locais. Portanto,
As retas horizontais y=c com −1<c<9/16 têm exatamente quatro interseções com o gráfico de f.
Resposta
As retas horizontais
com
.