Seja
a função dada por
. Encontre retas que tenham:
exatamente 3 interseções com o gráfico de
;
exatamente 3 interseções com o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3) e pede retas y=mx+b que cortem o gráfico de f em exatamente 3 pontos. O conteúdo é interseção reta–funcão polinomial de grau 4, e vamos precisar usar o fato de que, para ter 3 interseções, a equação f(x)=mx+b deve ter uma raiz dupla e duas raízes simples.
Passo 2
Para que a equação f(x)−(mx+b)=0 tenha uma raiz dupla x₀, precisamos de
que garantem que x₀ é raiz e f−L tem derivada zero lá (toque tangente).
Passo 3
Da segunda condição vem m=f’(x₀). Substituindo na primeira,
Passo 4
Logo, a família de retas tangentes em x₀ é
Passo 5
Para t≠(9±\sqrt{15})/6 temos f’’(t)≠0, o que garante que a multiplicidade em t é exatamente 2 e que as outras duas raízes são reais e distintas. Então cada reta tangente em t≠(9±\sqrt{15})/6 corta o gráfico em exatamente 3 pontos.
Resposta
As retas de equação
com
e t \neq \frac{9\pm\sqrt{15}}{6},
cortam o gráfico de f em exatamente três pontos.