Seja f: R R a função dada por f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3). Encontre retas que tenham:
exatamente 3 interseções com o gráfico de f;

Passo 1

O enunciado dá f(x)=x(x−1)(x−2)(x−3) e pede retas y=mx+b que cortem o gráfico de f em exatamente 3 pontos. O conteúdo é interseção reta–funcão polinomial de grau 4, e vamos precisar usar o fato de que, para ter 3 interseções, a equação f(x)=mx+b deve ter uma raiz dupla e duas raízes simples.

Passo 2

Para que a equação f(x)−(mx+b)=0 tenha uma raiz dupla x₀, precisamos de
f(x₀)−(m x₀+b)=0 e f'(x₀)−m=0,
que garantem que x₀ é raiz e f−L tem derivada zero lá (toque tangente).

Passo 3

Da segunda condição vem m=f’(x₀). Substituindo na primeira,
b=f(x₀)−m x₀=f(x₀)−f'(x₀),x₀

Passo 4

Logo, a família de retas tangentes em x₀ é
y=f'(x₀)x+l(f(x₀)−f'(x₀)x₀r)

Passo 5

Para t≠(9±\sqrt{15})/6 temos f’’(t)≠0, o que garante que a multiplicidade em t é exatamente 2 e que as outras duas raízes são reais e distintas. Então cada reta tangente em t≠(9±\sqrt{15})/6 corta o gráfico em exatamente 3 pontos.

Resposta

As retas de equação
y = f'(t),x + l(f(t) - f'(t),tr),
com
f'(t) = 4t^3 - 18t^2 + 22t - 6 e f(t) = t(t-1)(t-2)(t-3)
e t \neq \frac{9\pm\sqrt{15}}{6},
cortam o gráfico de f em exatamente três pontos.

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