Encontre uma função f tal que F = nabla f
F(x, y) = 2xy^3 i + 3x^2y^2 j,
r(t) = sen(t) i + (t^2 + 1) j, 0 <= t <= pi/2

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente de , ou seja, . Isso faz parte do estudo de campos conservativos e funções potenciais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos usar a definição de gradiente e integrar as componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de em duas dimensões é dado por:
Comparando com o campo , temos:
Agora, vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar .

Passo 3

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de . Agora, vamos usar a segunda equação para determinar :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Resposta

A função que satisfaz é:
onde é uma constante qualquer.

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