Encontre uma função 
  tal que 
 ,
 
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa encontrar uma função 
  tal que o campo vetorial 
  seja o gradiente de 
 , ou seja, 
 . Isso faz parte do estudo de campos conservativos e funções potenciais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos usar a definição de gradiente e integrar as componentes de 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de 
  em duas dimensões é dado por:
Comparando com o campo 
 , temos:
Agora, vamos integrar a primeira equação em relação a 
  para encontrar 
 .
Passo 3
Integrando 
  em relação a 
 :
Aqui, 
  é uma função que depende só de 
 . Agora, vamos usar a segunda equação 
  para determinar 
 :
Isso implica que 
 , então 
  é uma constante. Podemos chamar essa constante de 
 .
Resposta
A função que satisfaz 
  é:
onde 
  é uma constante qualquer.