Determine se 
  é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função 
  tal que 
 .
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial 
  é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função potencial 
  tal que 
 . Para isso, vamos usar propriedades dos campos conservativos, como as condições de igualdade das derivadas parciais cruzadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial 
 . Temos:
Para verificar se 
  é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais de 
  em relação a 
  e de 
  em relação a 
  são iguais. Ou seja, verificar se:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas:
- Primeira, 
:  
- Segunda, 
:  
Observamos que:
Passo 4
Como 
 , isso indica que o campo vetorial 
  é conservativo. Portanto, existe uma função potencial 
  tal que 
 .
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função potencial 
 . Sabemos que:
Vamos integrar 
  em relação a 
 :
Onde 
  é uma função que depende somente de 
 .
Passo 6
Agora, vamos derivar 
  em relação a 
  e igualar a 
 :
Comparando os termos:
Então:
No entanto, isso não faz sentido já que 
  deveria depender apenas de 
 . Isso indica que houve um erro no processo.
Passo 7
Vamos revisar o passo anterior. Na verdade, ao calcular 
 :
Então, temos:
Isolando 
 :
Aqui, de fato, encontramos um problema porque 
  não pode depender de 
  se for uma função apenas de 
 . Isso significa que nosso campo vetorial 
  não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial 
  não é conservativo.