Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (y cos x - cos y) i + (sen x + x sen y) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função potencial f tal que . Para isso, vamos usar propriedades dos campos conservativos, como as condições de igualdade das derivadas parciais cruzadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial F. Temos:
Para verificar se F é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais de P em relação a y e de Q em relação a x são iguais. Ou seja, verificar se:

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas:
  1. Primeira, :
  1. Segunda, :
Observamos que:

Passo 4

Como , isso indica que o campo vetorial F é conservativo. Portanto, existe uma função potencial f(x, y) tal que .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y). Sabemos que:
Vamos integrar em relação a x:
Onde g(y) é uma função que depende somente de y.

Passo 6

Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y e igualar a :
Comparando os termos:
Então:
No entanto, isso não faz sentido já que deveria depender apenas de y. Isso indica que houve um erro no processo.

Passo 7

Vamos revisar o passo anterior. Na verdade, ao calcular :
Então, temos:
Isolando :
Aqui, de fato, encontramos um problema porque não pode depender de x se for uma função apenas de y. Isso significa que nosso campo vetorial F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F não é conservativo.

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