utilize a parte (a) para calcular 
  ao longo da curva dada 
 .
 ,
  é o arco da parábola 
  de 
  a 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha 
  ao longo da curva 
 . Aqui, a força que estamos considerando é dada por 
 , e a curva 
  é um arco da parábola 
  que vai do ponto 
  até 
 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, e verificar se o campo vetorial 
  é conservativo para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral de linha 
 . Essa integral representa o trabalho realizado pela força 
  ao longo da curva 
 . Para calcular isso, temos duas opções principais:
- 
Parametrizar a curva
: Escolhemos um parâmetro, geralmente , que varia de um valor inicial a um final, e expressamos e em função de . Depois, substituímos na integral e resolvemos.  - 
Verificar se
é um campo conservativo: Se for conservativo, existe uma função potencial tal que , e a integral de linha pode ser simplificada pela diferença dos valores de nos pontos finais.  
Vamos verificar se 
  é conservativo, já que isso pode facilitar bastante nossos cálculos.
Passo 3
Um campo vetorial 
  é conservativo se satisfizer a condição de conservatividade, que no caso de duas dimensões é:
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como 
 , o campo 
  é conservativo.
Passo 4
Sabendo que 
  é conservativo, existe uma função potencial 
  tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar essas equações para encontrar 
 .
Integrando 
  em relação a 
 :
Agora, derivamos 
  em relação a 
  e igualamos a 
 :
Integrando em relação a 
 :
Portanto, a função potencial é:
Como só precisamos de uma função potencial, podemos ignorar a constante 
 .
Passo 5
Com a função potencial 
 , podemos calcular a integral de linha usando a diferença dos valores de 
  nos pontos finais da curva 
 .
Os pontos são 
  e 
 . Vamos calcular 
 .
Calculando 
 :
Calculando 
 :
Resposta
A integral de linha é igual a 
 .