(1.5 pontos) Calcule a integral dupla \iint_{D}(2 x-3 y+3) d A, onde D é a região triangular com vértices (0,0),(2,0) e (2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(2 x-3 y+3)\,dA,
onde D é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,3).
Informações dadas:
  • Os vértices de D são (0,0), (2,0) e (2,3).
  • A função a integrar é f(x,y)=2x-3y+3.
  • A região D é um triângulo limitado por três arestas: a reta que passa por (0,0) e (2,3), a reta y=0 (eixo x) e a reta vertical x=2.

Passo 2

Vamos descrever as fronteiras de D de forma prática para montar a integral iterada.
A reta que liga (0,0) a (2,3) tem coeficiente angular
m=\frac{3-0}{2-0}=\frac{3}{2},
logo sua equação é
y=\frac{3}{2}x.
Observando o triângulo, para cada x com 0\le x\le 2 a coordenada y varia entre a base y=0 e a reta y=\dfrac{3}{2}x. Assim é conveniente integrar primeiro em y e depois em x.
Aqui vai um lembrete útil sobre integrais duplas em forma iterada (fórmula e interpretação):
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx,
onde [a,b] é o intervalo de x que projeta a região D e g_1(x),g_2(x) são as curvas inferiores e superiores em y para cada x. Aqui dA representa um pequeno elemento de área; ao fazer a integração interna em y estamos somando “fatias verticais” para cada x.

Passo 3

Montando a integral iterada com os limites que identificamos:
\iint_{D}(2x-3y+3)\,dA=\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{\frac{3}{2}x}(2x-3y+3)\,dy\right)dx.

Passo 4

Calculemos a integral interna em y. Integramos termo a termo em relação a y:
  • \displaystyle \int (2x)\,dy = 2x\cdot y porque 2x é constante em y.
  • \displaystyle \int (-3y)\,dy = -\tfrac{3}{2}y^{2}.
  • \displaystyle \int 3\,dy = 3y.
Portanto
\int_{y=0}^{\frac{3}{2}x}(2x-3y+3)\,dy = \left[2x\,y-\tfrac{3}{2}y^{2}+3y\right]_{y=0}^{y=\frac{3}{2}x}.
Avaliaremos no limite superior y=\dfrac{3}{2}x (no inferior y=0 dá zero):
2x\cdot\frac{3}{2}x - \tfrac{3}{2}\left(\frac{3}{2}x\right)^{2} + 3\cdot\frac{3}{2}x.
Calcule passo a passo:
  • 2x\cdot\frac{3}{2}x = 3x^{2}.
  • \left(\frac{3}{2}x\right)^{2}=\frac{9}{4}x^{2}, então -\tfrac{3}{2}\cdot\frac{9}{4}x^{2}=-\frac{27}{8}x^{2}.
  • 3\cdot\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}x.
Somando os termos em x^{2}:
3x^{2}-\frac{27}{8}x^{2}=\left(\frac{24}{8}-\frac{27}{8}\right)x^{2}=-\frac{3}{8}x^{2}.
Portanto a integral interna resulta em
-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{9}{2}x.

Passo 5

Agora integramos essa expressão em x no intervalo [0,2]:
\int_{0}^{2}\left(-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{9}{2}x\right)dx.
Calcule as primitivias termo a termo:
  • \displaystyle \int -\frac{3}{8}x^{2}\,dx = -\frac{3}{8}\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{1}{8}x^{3}.
  • \displaystyle \int \frac{9}{2}x\,dx = \frac{9}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{9}{4}x^{2}.
Logo a primitiva é -\dfrac{1}{8}x^{3}+\dfrac{9}{4}x^{2}. Avaliando entre 0 e 2:
\left(-\frac{1}{8}\cdot 2^{3} + \frac{9}{4}\cdot 2^{2}\right) - \left(0\right).
Calcule os termos:
  • -\dfrac{1}{8}\cdot 2^{3} = -\dfrac{1}{8}\cdot 8 = -1.
  • \dfrac{9}{4}\cdot 2^{2} = \dfrac{9}{4}\cdot 4 = 9.
Somando: -1+9=8.

Passo 6

Breve comentário de verificação (opcional): se trocássemos a ordem de integração, para 0\le y\le 3 teríamos x variando de x=\tfrac{2}{3}y até x=2; o cálculo daria a mesma resposta \,8, como deve ser (coerência do método).

Resposta

8

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