(1.5 pontos) Calcule a integral dupla
, onde
é a região triangular com vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o triângulo com vértices
,
e
.
Informações dadas:
- Os vértices de
são , e . - A função a integrar é
. - A região
é um triângulo limitado por três arestas: a reta que passa por e , a reta (eixo ) e a reta vertical .
Passo 2
Vamos descrever as fronteiras de
de forma prática para montar a integral iterada.
A reta que liga
a
tem coeficiente angular
logo sua equação é
Observando o triângulo, para cada
com
a coordenada
varia entre a base
e a reta
. Assim é conveniente integrar primeiro em
e depois em
.
Aqui vai um lembrete útil sobre integrais duplas em forma iterada (fórmula e interpretação):
onde
é o intervalo de
que projeta a região
e
são as curvas inferiores e superiores em
para cada
. Aqui
representa um pequeno elemento de área; ao fazer a integração interna em
estamos somando “fatias verticais” para cada
.
Passo 3
Montando a integral iterada com os limites que identificamos:
Passo 4
Calculemos a integral interna em
. Integramos termo a termo em relação a
:
-
porque é constante em . -
. -
.
Portanto
Avaliaremos no limite superior
(no inferior
dá zero):
Calcule passo a passo:
-
. -
, então . -
.
Somando os termos em
:
Portanto a integral interna resulta em
Passo 5
Agora integramos essa expressão em
no intervalo
:
Calcule as primitivias termo a termo:
Logo a primitiva é
. Avaliando entre
e
:
Calcule os termos:
Somando:
.
Passo 6
Breve comentário de verificação (opcional): se trocássemos a ordem de integração, para
teríamos
variando de
até
; o cálculo daria a mesma resposta
, como deve ser (coerência do método).
Resposta
8