Encontre as funções aceleração e deslocamento se a função velocidade de uma partícula, para um tempo x , é dada por (sendo constantes \mathrm{a}, \mathrm{b} \mathrm{c} “e” d ):
v(x)=a^{x^{2}+b}-c x^{d}

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de uma partícula
v(x)=a^{\,x^{2}+b}-c\,x^{d}
onde a,b,c,d são constantes, e pede duas coisas:
  1. A aceleração a(x), que é a derivada de v(x).
  2. O deslocamento s(x), que é a antiderivada de v(x).

Passo 2

Para achar a aceleração calculamos
a(x)=v'(x).
Primeiro, considere f(u)=a^{u}. Temos f'(u)=a^{u}\ln(a).
Aqui u(x)=x^{2}+b, logo u'(x)=2x.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(a^{\,x^{2}+b}\bigr) =2x\,\ln(a)\;a^{\,x^{2}+b}.
Em seguida,
\frac{d}{dx}\bigl(-c\,x^{d}\bigr) =-c\,d\,x^{\,d-1}.
Somando,
a(x)=2x\,\ln(a)\;a^{\,x^{2}+b}\;-\;c\,d\,x^{\,d-1}.

Passo 3

Para o deslocamento s(x) fazemos
s(x)=\int v(x)\,dx =\int a^{\,x^{2}+b}\,dx\;-\;c\int x^{d}\,dx.
Fatorando a^{b} no primeiro termo e integrando o segundo,
s(x)=a^{b}\int e^{\,x^{2}\ln(a)}\,dx \;-\;\frac{c}{d+1}\,x^{\,d+1}+C.

Passo 4

A integral \displaystyle\int e^{\,x^{2}\ln(a)}\,dx não é elementar, mas pode ser escrita em termos da função erro imaginária. Defina \alpha=\ln(a); então
\int e^{\alpha x^{2}}\,dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\alpha}}\;\erfi\bigl(x\sqrt{\alpha}\bigr).
Logo
s(x) =\frac{a^{b}\,\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\ln(a)}}\;\erfi\!\Bigl(x\sqrt{\ln(a)}\Bigr) \;-\;\frac{c}{d+1}\,x^{\,d+1}+C.

Resposta

a(x)=2x\,\ln(a)\;a^{\,x^{2}+b}\;-\;c\,d\,x^{\,d-1}.
s(x) =\frac{a^{b}\,\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\ln(a)}}\;\erfi\!\Bigl(x\sqrt{\ln(a)}\Bigr) \;-\;\frac{c}{d+1}\,x^{\,d+1}+C.

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