Classifique como par, ímpar ou nenhuma das duas:
Passo 1
O que o enunciado pede: classificar cada uma das cinco funções dadas como par, ímpar ou nenhuma das duas. As funções fornecidas (na ordem) são:
Não há outros dados; a tarefa é aplicar a definição de par/ímpar a cada função.
Passo 2
Definições e procedimento que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Seja
uma função cujo domínio é um subconjunto de . - Dizemos que
é par se, para todo no domínio de ,
- Dizemos que
é ímpar se, para todo no domínio de ,
- Se nenhuma das igualdades acima vale para todo
do domínio, então não é nem par nem ímpar.
Observações importantes: - Antes de aplicar os testes, confirmar que o domínio é simétrico em relação a zero (isto é, se
está no domínio então também está). Se o domínio não for simétrico, a função não pode ser classificada como par ou ímpar pela definição usual. - Método prático para cada função
: calcular e comparar com e com .
Exemplos rápidos para fixar a intuição:
-
é par porque . -
é ímpar porque .
Passo 3
Teste para
.
- Calcular
:
- Comparação:
para todo (domínio: todos os reais). - Conclusão desse passo: a função
é par.
Passo 4
Teste para
.
- Calcular
:
- Comparação:
para todo (domínio: todos os reais). - Conclusão desse passo: a função
é ímpar.
Passo 5
Teste para
.
- Calcular
:
- Comparações:
-
não é igual a (portanto não é par). -
não é igual a (portanto não é ímpar).
-
- Conclusão desse passo: a função
não é nem par nem ímpar.
Passo 6
Teste para
.
- Observação sobre domínio:
para todo , logo o domínio é todo , que é simétrico. - Calcular
:
- Comparação:
para todo . - Conclusão desse passo: a função
é ímpar.
Passo 7
Teste para
.
- Observação sobre domínio: módulos estão definidos para todo
, domínio é , simétrico. - Calcular
:
- Usar propriedades do valor absoluto:
e . Portanto
- Reordenando somandos (adição comutativa) obtemos
- Comparação:
para todo . - Conclusão desse passo: a função
é par.