Classifique como par, ímpar ou nenhuma das duas:
x^{4}-3 x^{2}+1, \quad x^{3}+x, \quad x^{3}+x^{2}, \quad \frac{x}{x^{2}+1}, \quad|x+1|+|x-1|

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar cada uma das cinco funções dadas como par, ímpar ou nenhuma das duas. As funções fornecidas (na ordem) são:
x^{4}-3 x^{2}+1,\quad x^{3}+x,\quad x^{3}+x^{2},\quad \frac{x}{x^{2}+1},\quad |x+1|+|x-1|.
Não há outros dados; a tarefa é aplicar a definição de par/ímpar a cada função.

Passo 2

Definições e procedimento que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Seja f uma função cujo domínio é um subconjunto de \mathbb{R}.
  • Dizemos que f é par se, para todo x no domínio de f,
f(-x)=f(x).
  • Dizemos que f é ímpar se, para todo x no domínio de f,
f(-x)=-f(x).
  • Se nenhuma das igualdades acima vale para todo x do domínio, então f não é nem par nem ímpar.
    Observações importantes:
  • Antes de aplicar os testes, confirmar que o domínio é simétrico em relação a zero (isto é, se x está no domínio então -x também está). Se o domínio não for simétrico, a função não pode ser classificada como par ou ímpar pela definição usual.
  • Método prático para cada função f(x): calcular f(-x) e comparar com f(x) e com -f(x).
Exemplos rápidos para fixar a intuição:
  • \;g(x)=x^{2} é par porque g(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=g(x).
  • \;h(x)=x^{3} é ímpar porque h(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-h(x).

Passo 3

Teste para \;f(x)=x^{4}-3x^{2}+1.
  • Calcular f(-x):
f(-x)=(-x)^{4}-3(-x)^{2}+1 = x^{4}-3x^{2}+1.
  • Comparação: \;f(-x)=f(x) para todo x (domínio: todos os reais).
  • Conclusão desse passo: a função \;x^{4}-3x^{2}+1 é par.

Passo 4

Teste para \;g(x)=x^{3}+x.
  • Calcular g(-x):
g(-x)=(-x)^{3}+(-x) = -x^{3}-x = -(x^{3}+x) = -g(x).
  • Comparação: \;g(-x)=-g(x) para todo x (domínio: todos os reais).
  • Conclusão desse passo: a função \;x^{3}+x é ímpar.

Passo 5

Teste para \;h(x)=x^{3}+x^{2}.
  • Calcular h(-x):
h(-x)=(-x)^{3}+(-x)^{2} = -x^{3}+x^{2}.
  • Comparações:
    • h(-x)= -x^{3}+x^{2} não é igual a h(x)=x^{3}+x^{2} (portanto não é par).
    • h(-x)= -x^{3}+x^{2} não é igual a -h(x) = -x^{3}-x^{2} (portanto não é ímpar).
  • Conclusão desse passo: a função \;x^{3}+x^{2} não é nem par nem ímpar.

Passo 6

Teste para \;p(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}.
  • Observação sobre domínio: x^{2}+1\neq0 para todo x, logo o domínio é todo \mathbb{R}, que é simétrico.
  • Calcular p(-x):
p(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}+1} = \frac{-x}{x^{2}+1} = -\frac{x}{x^{2}+1} = -p(x).
  • Comparação: \;p(-x)=-p(x) para todo x.
  • Conclusão desse passo: a função \;\dfrac{x}{x^{2}+1} é ímpar.

Passo 7

Teste para \;q(x)=|x+1|+|x-1|.
  • Observação sobre domínio: módulos estão definidos para todo x, domínio é \mathbb{R}, simétrico.
  • Calcular q(-x):
q(-x)=|-x+1|+|-x-1| = |1-x|+|-(x+1)|.
  • Usar propriedades do valor absoluto: |1-x|=|x-1| e |-(x+1)|=|x+1|. Portanto
q(-x)=|x-1|+|x+1|.
  • Reordenando somandos (adição comutativa) obtemos
q(-x)=|x+1|+|x-1|=q(x).
  • Comparação: \;q(-x)=q(x) para todo x.
  • Conclusão desse passo: a função |x+1|+|x-1| é par.

Resposta

\,x^{4}-3x^{2}+1: par\n
\,x^{3}+x: ímpar\n
\,x^{3}+x^{2}: nenhuma das duas\n
\,\dfrac{x}{x^{2}+1}: ímpar\n
\,|x+1|+|x-1|: par

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