Determine todos os valores de x para os quais (f \circ g)(x)=0, sendo
f(x)=x^{2}-5 x+6, \quad g(x)=2 x-1

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede todos os valores de x tais que (f\circ g)(x)=0. Informações fornecidas:
  • f(x)=x^{2}-5x+6.
  • g(x)=2x-1.
    O que é pedido: todos os x que satisfazem (f\circ g)(x)=0, isto é, todos os x tais que f(g(x))=0.

Passo 2

Entendendo composição de funções (explicação didática): compor f com g significa substituir a variável de f pela expressão g(x). Se f(u)=u^{2}-5u+6, então f(g(x)) é a mesma fórmula com u trocado por g(x). Em símbolos:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Portanto, para formar f(g(x)) basta fazer a substituição u\mapsto g(x) em f(u).

Passo 3

Substituindo g(x)=2x-1 em f:
f(g(x))=(2x-1)^{2}-5(2x-1)+6.

Passo 4

Agora vamos expandir e simplificar passo a passo (aqui explico como expandir um quadrado e distribuir):
  • Primeiro, (2x-1)^{2}=(2x)^{2}-2\cdot(2x)\cdot1+1^{2}=4x^{2}-4x+1.
  • Depois, distribuir o -5: -5(2x-1)=-10x+5.
    Somando tudo:
f(g(x))=4x^{2}-4x+1-10x+5+6.
Agrupando termos semelhantes:
f(g(x))=4x^{2}-14x+12.
Podemos simplificar dividindo por 2 (não altera as raízes):
f(g(x))=2\bigl(2x^{2}-7x+6\bigr).
Para achar onde isso é zero basta resolver a equação quadrática
2x^{2}-7x+6=0.

Passo 5

Resolver a quadrática 2x^{2}-7x+6=0. Vou factorizar por tentativa (método didático):
  • Procuramos fatores inteiros que multipliquem para 2\cdot6=12 e somem -7. Esses números são -3 e -4, pois (-3)\cdot(-4)=12 e -3+(-4)=-7.
  • Reescrevemos o termo médio usando -3x e -4x:
2x^{2}-3x-4x+6=0.
  • Agrupando:
(2x^{2}-3x)+(-4x+6)=x(2x-3)-2(2x-3)=(2x-3)(x-2).
Assim
2x^{2}-7x+6=(2x-3)(x-2).

Passo 6

Encontrando as raízes a partir da fatoração: igualando cada fator a zero,
2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{2},
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 7

Verificação rápida (importante na prova): calcular g(2)=2\cdot2-1=3 e f(3)=3^{2}-5\cdot3+6=9-15+6=0. Para x=\tfrac{3}{2}, g(\tfrac{3}{2})=2\cdot\tfrac{3}{2}-1=2 e f(2)=4-10+6=0. Ambas as soluções funcionam.

Resposta

x=2
x=\dfrac{3}{2}

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