Determine todos os valores de
para os quais
, sendo
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede todos os valores de
tais que
. Informações fornecidas:
-
. -
.
O que é pedido: todos osque satisfazem , isto é, todos os tais que .
Passo 2
Entendendo composição de funções (explicação didática): compor
com
significa substituir a variável de
pela expressão
. Se
, então
é a mesma fórmula com
trocado por
. Em símbolos:
Portanto, para formar
basta fazer a substituição
em
.
Passo 3
Substituindo
em
:
Passo 4
Agora vamos expandir e simplificar passo a passo (aqui explico como expandir um quadrado e distribuir):
- Primeiro,
. - Depois, distribuir o
: .
Somando tudo:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos simplificar dividindo por
(não altera as raízes):
Para achar onde isso é zero basta resolver a equação quadrática
Passo 5
Resolver a quadrática
. Vou factorizar por tentativa (método didático):
- Procuramos fatores inteiros que multipliquem para
e somem . Esses números são e , pois e . - Reescrevemos o termo médio usando
e :
- Agrupando:
Assim
Passo 6
Encontrando as raízes a partir da fatoração: igualando cada fator a zero,
Passo 7
Verificação rápida (importante na prova): calcular
e
. Para
,
e
. Ambas as soluções funcionam.