Utilizando propriedades da inversa da transformada de Laplace calcule
Indique as propriedades que esta usando.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a inversa da transformada de Laplace
Informações dadas: a expressão racional em
é
. A tarefa é encontrar a função
tal que
. Não há outras informações ou figuras.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a expressão em
para reconhecê‑la em formas padrão de tabelas de Laplace. Faço fatoração do numerador e completo o quadrado do denominador.
Fatorando o numerador:
Completando o quadrado no denominador:
Portanto a função no domínio de
fica
Passo 3
Agora vou lembrar as transformadas padrão e as propriedades que vou usar (explicando cada uma).
Propriedade 1 — linearidade:
Se e
, então
. Aqui permite tirar constantes como
para fora da inversa.
Se
Propriedade 2 — deslocamento no eixo
(teorema do deslocamento/frequência):
Se . Em termos de inversa: se vemos
, a inversa é
. No nosso caso aparece
, que é
, logo corresponde a um fator
no tempo.
Se
Transformadas básicas que usarei (tabela):
Aplicando o deslocamento: para
qualquer,
Aqui
é a taxa do exponencial (se
dá decaimento),
é a frequência angular da seno/cosseno.
Passo 4
Comparo a forma que obtive em
com a forma padrão
das transformadas deslocadas. Identifico
, ou seja
. Também vejo
, logo
.
Portanto a função básica correspondente é
.
Passo 5
Usando linearidade, já que havia fator
multiplicando, a inversa é simplesmente
vezes a inversa da fração básica:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): aplicando a transformada direta em
pela fórmula deslocada obtemos
que é exatamente a expressão original, então a inversa está correta.