Utilizando propriedades da inversa da transformada de Laplace calcule
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{2 s+2}{s^{2}+2 s+5}\right](t)
Indique as propriedades que esta usando.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a inversa da transformada de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left[\frac{2 s+2}{s^{2}+2 s+5}\right](t).
Informações dadas: a expressão racional em s é \dfrac{2s+2}{s^{2}+2s+5}. A tarefa é encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f\}(s)=\dfrac{2s+2}{s^{2}+2s+5}. Não há outras informações ou figuras.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a expressão em s para reconhecê‑la em formas padrão de tabelas de Laplace. Faço fatoração do numerador e completo o quadrado do denominador.
Fatorando o numerador:
2s+2 = 2(s+1).
Completando o quadrado no denominador:
s^{2}+2s+5 = (s+1)^{2}+5-1 = (s+1)^{2}+4.
Portanto a função no domínio de s fica
\frac{2s+2}{s^{2}+2s+5} = 2\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 3

Agora vou lembrar as transformadas padrão e as propriedades que vou usar (explicando cada uma).
Propriedade 1 — linearidade:
Se \mathcal{L}\{f\}=F e \mathcal{L}\{g\}=G, então \mathcal{L}\{a f + b g\}=aF + bG. Aqui permite tirar constantes como 2 para fora da inversa.
Propriedade 2 — deslocamento no eixo s (teorema do deslocamento/frequência):
Se \mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a). Em termos de inversa: se vemos F(s-a), a inversa é e^{a t}f(t). No nosso caso aparece s+1, que é s-(-1), logo corresponde a um fator e^{-t} no tempo.
Transformadas básicas que usarei (tabela):
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Aplicando o deslocamento: para a qualquer,
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{a t}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a é a taxa do exponencial (se a<0 dá decaimento), b é a frequência angular da seno/cosseno.

Passo 4

Comparo a forma que obtive em s
2\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}
com a forma padrão
\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}
das transformadas deslocadas. Identifico s-a = s+1, ou seja a=-1. Também vejo b^{2}=4, logo b=2.
Portanto a função básica correspondente é \mathcal{L}\{e^{-t}\cos(2t)\}(s)=\dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 5

Usando linearidade, já que havia fator 2 multiplicando, a inversa é simplesmente 2 vezes a inversa da fração básica:
\mathcal{L}^{-1}\!\left[2\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4}\right](t)=2\cdot e^{-t}\cos(2t).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): aplicando a transformada direta em 2e^{-t}\cos(2t) pela fórmula deslocada obtemos
\mathcal{L}\{2e^{-t}\cos(2t)\}(s)=2\cdot\frac{s-(-1)}{(s-(-1))^{2}+2^{2}}=2\cdot\frac{s+1}{(s+1)^{2}+4},
que é exatamente a expressão original, então a inversa está correta.

Resposta

2e^{-t}\cos(2t)

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