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um bloco de massa 2M desliza com velocidade V sobre uma superfície sem atrito e gruda num bloco de massa M/2 que estava em repouso, qual o ganho de momento linear do bloco de massa M/2?

Passo 1

O enunciado: um bloco de massa 2M desliza com velocidade V sobre uma superfície sem atrito e gruda num bloco de massa \tfrac{M}{2} que estava em repouso. A pergunta é: qual o ganho de momento linear do bloco de massa \tfrac{M}{2}?\n
Informações dadas:
\text{massa do bloco A} = 2M,\quad \text{velocidade inicial do bloco A} = V
\text{massa do bloco B} = \tfrac{M}{2},\quad \text{velocidade inicial do bloco B} = 0
\text{colisão perfeitamente inelástica: os blocos "grudam"}ãá

Passo 2

Princípio que usamos (explicação didática): em colisões horizontais sem forças externas horizontais (a superfície é sem atrito), a quantidade chamada momento linear total do sistema se conserva. Momento linear de um corpo é a sua massa vezes sua velocidade; em TeX:
p = m v
A conservação do momento linear diz:
\sum p_{\text{inicial}} = \sum p_{\text{final}}.
Aqui isso vale porque a única força externa horizontal (atrito) é nula, logo o sistema formado pelos dois blocos é isolado horizontalmente.

Passo 3

Calcular o momento linear total inicial (detalhe passo a passo): só o bloco de massa 2M está em movimento inicialmente, então
p_{\text{inicial}} = (2M)\cdot V.
O bloco de massa \tfrac{M}{2} tem momento inicial 0 porque estava em repouso:
p_{B,\text{inicial}} = \tfrac{M}{2}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Após a colisão os blocos grudam e têm uma velocidade comum v_f. A massa total combinada é
m_{\text{total}} = 2M + \tfrac{M}{2} = \tfrac{5M}{2}.
Aplicando conservação do momento:
(2M)V = \left(\tfrac{5M}{2}\right) v_f.
Agora isolamos v_f. Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2\cdot(2M)V = 5M\, v_f \quad\Rightarrow\quad 4M V = 5M\, v_f.
Cancelando M (assumindo M\neq0):
4V = 5 v_f \quad\Rightarrow\quad v_f = \frac{4}{5}\,V.

Passo 5

Agora calculamos o momento final do bloco de massa \tfrac{M}{2}. Como ele passa a mover-se com v_f,
p_{B,\text{final}} = \left(\tfrac{M}{2}\right) v_f.
Substituindo v_f = \tfrac{4}{5}V:
p_{B,\text{final}} = \left(\tfrac{M}{2}\right)\left(\tfrac{4}{5}V\right) = \frac{4}{10} M V = \frac{2}{5} M V.

Passo 6

O ganho de momento linear do bloco \tfrac{M}{2} é a variação do seu momento: \Delta p = p_{B,\text{final}} - p_{B,\text{inicial}}. Como p_{B,\text{inicial}}=0,
\Delta p = p_{B,\text{final}} = \frac{2}{5} M V.
Observação prática para a prova: uma maneira rápida é lembrar que \Delta p_B = m_B(v_f - 0), então primeiro resolve-se v_f por conservação do momento e depois multiplica-se por m_B.

Resposta

\displaystyle \Delta p=\frac{2}{5}MV

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