Encontre o gradiente de
no ponto dado, quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) = \left(x^{2} + y^{2} + 1\right){x{2}} $ no ponto $ X_{0} = (1, 1, 1) $. O gradiente envolve derivadas parciais, então vamos precisar calcular como $ f $ muda em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o gradiente de $ f $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y, z) = \left(x^{2} + y^{2} + 1\right){x{2}} $. Para derivar isso em relação a $ x $, podemos usar a técnica de diferenciação logarítmica.
Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a $ x $:
Multiplicando ambos os lados por $ f $, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. A metodologia é similar à do $ x $, mas agora derivamos em relação a $ y $:
Multiplicando por $ f $:
Passo 5
Por fim, vamos derivar $ f $ em relação a $ z $. Observamos que $ f $ não depende de $ z $, já que $ z $ não aparece na fórmula de $ f $. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto $ X_{0} = (1, 1, 1) $ nas derivadas que calculamos.
Primeiro, calculamos $ f(1, 1, 1) $:
Em seguida, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas derivadas parciais:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
E para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
Resposta
O gradiente de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $ é dado por: