Encontre o gradiente de f no ponto dado, quando:
f(x, y, z)=(x^2+y^2+1)^x^2 ; X0=(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente da função $ f(x, y, z) = \left(x^{2} + y^{2} + 1\right){x{2}} $ no ponto $ X_{0} = (1, 1, 1) $. O gradiente envolve derivadas parciais, então vamos precisar calcular como $ f $ muda em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o gradiente de $ f $ é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável. Ou seja,
f
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é $ f(x, y, z) = \left(x^{2} + y^{2} + 1\right){x{2}} $. Para derivar isso em relação a $ x $, podemos usar a técnica de diferenciação logarítmica.
Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
f
Agora, derivamos ambos os lados em relação a $ x $:
x
Multiplicando ambos os lados por $ f $, temos:
f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + 1)^x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. A metodologia é similar à do $ x $, mas agora derivamos em relação a $ y $:
f
Multiplicando por $ f $:
y

Passo 5

Por fim, vamos derivar $ f $ em relação a $ z $. Observamos que $ f $ não depende de $ z $, já que $ z $ não aparece na fórmula de $ f $. Portanto:
f

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto $ X_{0} = (1, 1, 1) $ nas derivadas que calculamos.
Primeiro, calculamos $ f(1, 1, 1) $:
X0 = (1, 1, 1)
Em seguida, substituímos $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas derivadas parciais:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
f(1, 1, 1)
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
f(1, 1, 1) = (1^2 + 1^2 + 1)^1^2 = (1 + 1 + 1)^1 = 3
E para $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
x = 1

Resposta

O gradiente de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $ é dado por:
f

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