Encontre o gradiente de
no ponto dado, quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} - y^{2}} $ no ponto $ X_{0} = (5, 3) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e vetores-gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Matematicamente, é representado por:
Então, nosso objetivo é calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ para a função dada.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. A função é:
Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia. Se temos $ f = \sqrt{u} $, então $ \frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dx} $.
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Usando a mesma função:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Mas queremos o gradiente no ponto específico $ (5, 3) $. Então, vamos substituir $ x = 5 $ e $ y = 3 $ na expressão.
Passo 6
Substituindo os valores:
Agora, substituímos na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto $ (5, 3) $ é:
Resposta
O gradiente de $ f $ no ponto $ (5, 3) $ é $ \nabla f(5, 3) = \left( \frac{5}{4},\ -\frac{3}{4} \right) $.