Encontre o gradiente das seguintes funções:
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o gradiente da função
f(x,y,z)=lnl(x^2+y^2+z^2r)
O gradiente de f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x, y e z. Para isso, vamos usar a regra de cadeia, lembrando que
dduln u = 1u

Passo 2

Calcular partial fpartial x. Seja
u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,
então
partial fpartial x =1u,partial upartial x =1x^2+y^2+z^2cdot 2x =2xx^2+y^2+z^2

Passo 3

De modo análogo, para y e z temos
partial fpartial y =1x^2+y^2+z^2cdot 2y =2yx^2+y^2+z^2,
partial fpartial z =1x^2+y^2+z^2cdot 2z =2zx^2+y^2+z^2

Passo 4

Juntando as três componentes, o gradiente fica
nabla f(x,y,z) =l(2xx^2+y^2+z^2,,2yx^2+y^2+z^2,,2zx^2+y^2+z^2r)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(tfrac2xx^2+y^2+z^2,,tfrac2yx^2+y^2+z^2,,tfrac2zx^2+y^2+z^2r)

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