Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do solido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em tomo do eixo x.
13. x=1+y^3, x=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
x=1+y^3, x=0
Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que exige escolher retângulos paralelos ao eixo de rotação (aqui horizontais, variando em y), determinar raio e altura de cada casca e integrar ao longo de y.

Passo 2

Primeiro encontramos os extremos em y da região, que vêm da interseção de x=1+y^3 com x=0:
0=1+y^3;Longrightarrow;y^3=-1;Longrightarrow;y=-1
Além disso a região é limitada pelo eixo x (linha y=0), de modo que y varia de -1 até 0.

Passo 3

Num shell em altura infinitesimal dy localizado em y, a
– raio é a distância até o eixo x, ou seja l|yr|. Como y<=0, temos raio -y.
– altura é a extensão em x, dada por
xrm direita-xrm esquerda=(1+y^3)-0=1+y^3

Passo 4

O volume de uma casca é 2picdot(raio)cdot(a<ura),dy. Assim o volume total é
V=2piintegraly=-1^0l(-yr)l(1+y^3r),dy

Passo 5

Expandindo o integrando e calculando:
-y,(1+y^3)=-y-y^4,
integral-1^0(-y-y^4),dy =[-y^22-y^55]-1^0 =l(0r)-l(-tfrac12+tfrac15r) =310
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V=2picdot310=3pi5

Resposta

V=3pi5

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