Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar exatidão e, se for exata, resolver. O conteúdo aqui é de equações exatas: precisamos escrever no formato
testar
e, em caso afirmativo, achar a função potencial
tal que
.
Passo 2
Reescrevendo a equação como
identificamos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Agora impomos
Calculando
e igualando a
resulta
Integrando em
:
Resposta
A solução implícita geral é
onde
é constante de integração.