Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
(x e^y+y-x^2) d y=(2 x y-e^y-x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
l(xe^y+y-x^2r),dy ;=;l(2xy-e^y-xr),dx
e pede para verificar exatidão e, se for exata, resolver. O conteúdo aqui é de equações exatas: precisamos escrever no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
testar partial M/partial y = partial N/partial x e, em caso afirmativo, achar a função potencial Phi(x,y) tal que dPhi=0.

Passo 2

Reescrevendo a equação como
(2xy - e^y - x),dx;-;(xe^y+y-x^2),dy = 0
identificamos
M(x,y) = 2xy - e^y - x, N(x,y) = -l(xe^y+y-x^2r) = -xe^y - y + x^2

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2x - e^y, partial Npartial x = -e^y + 2x = 2x - e^y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y)
Integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral (2xy - e^y - x),dx = x^2y - x,e^y - x^22 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
partial Phipartial y = N(x,y)
Calculando
partial Phipartial y = x^2 - x,e^y + h'(y)
e igualando a N = -xe^y-y + x^2 resulta
x^2 - x,e^y + h'(y) = x^2 - x,e^y - y Longrightarrow h'(y) = -y
Integrando em y:
h(y) = -y^22

Resposta

A solução implícita geral é
Phi(x,y) = x^2y - x,e^y - x^22 ;-;y^22 = C,
onde C é constante de integração.

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