Encontre o gradiente das seguintes funções:
f(x, y)=y cos (x y);

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=ycos(xy)
e pede o gradiente nabla f(x,y). Para isso precisamos calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Calcular partial fpartial x.
Como f(x,y)=ycdotcos(xy), trata-se de produto entre y (constante em relação a x) e cos(xy). Logo,
partial fpartial x = ycdotddxl[cos(xy)r] = ycdotl[-sin(xy)r]cdotddx(xy) = -ysin(xy)cdot y = -y^2sin(xy)

Passo 3

Calcular partial fpartial y.
Agora y e cos(xy) dependem de y, então usamos regra do produto:
partial fpartial y = 1cdotcos(xy) + ycdotddyl[cos(xy)r] = cos(xy) + ycdotl[-sin(xy)r]cdotddy(xy) = cos(xy) - y,sin(xy)cdot x = cos(xy)-xysin(xy)

Passo 4

Juntando as duas componentes, o gradiente é o vetor
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =l(-y^2sin(xy),,cos(xy)-xysin(xy)r)

Resposta

nabla f(x,y)=l(-y^2sin(xy),,cos(xy)-xysin(xy)r)

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