Encontre o gradiente das seguintes funções:
f(x, y, z)=x^y^z.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=x^y^z
Ou seja, precisamos encontrar
nabla f = l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)
Para isso vamos usar a regra da cadeia, a derivada de exponencial e as propriedades de logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos f em forma exponencial para facilitar a diferenciação. Seja
g(x,y,z)=y^z,ln(x),
então
f(x,y,z)=x^y^z = e^,g(x,y,z)

Passo 3

Calculamos partial fpartial x. Pela regra da cadeia,
partial fpartial x = e^g(x,y,z);partial gpartial x
Como g=y^zln(x), tem-se
partial gpartial x = y^z,1x
Logo,
partial fpartial x = e^g(x,y,z),y^zx = x^y^z,y^zx = y^z,x^,y^z-1

Passo 4

Calculamos partial fpartial y. Novamente,
partial fpartial y = e^g(x,y,z);partial gpartial y
Agora
partial gpartial y = ln(x);partialpartial yl(y^zr)
Para y^z=e^zln(y), tem-se partialy(y^z)=z,y^z-1. Portanto
partial gpartial y = ln(x);z,y^z-1
E daí
partial fpartial y = x^y^z;z,y^z-1,ln(x)

Passo 5

Por fim, partial fpartial z. Mais uma vez,
partial fpartial z = e^g(x,y,z);partial gpartial z
E
partial gpartial z = ln(x);partialpartial zl(y^zr)
Usando y^z=e^zln(y), obtemos partialz(y^z)=y^zln(y). Logo
partial gpartial z = ln(x);y^zln(y)
Portanto
partial fpartial z = x^y^z;y^z,ln(y),ln(x)

Resposta

nabla f(x,y,z) =l(y^z,x^,y^z-1,;z,y^z-1,ln(x),x^y^z,;y^z,ln(y),ln(x),x^y^zr)

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