Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
.
é o retângulo com vértices
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o retângulo com vértices
,
,
e
, orientado positivamente (sentido anti-horário). Vamos usar dois métodos: (a) parametrização direta dos quatro lados de
, (b) Teorema de Green, que converte a integral de linha num integral dupla sobre a região interior.
Passo 2
Método direto. Definimos
e
e dividimos
em quatro lados:
Calculamos
Somando os quatro trechos:
Passo 3
Método de Green. Pelo teorema,
onde
é o interior do retângulo. Calculamos
logo o integrando é
. Assim
Fazendo a integral em
:
então