Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.
ointc y^2 d x+x^2 y d y.
C é o retângulo com vértices (0,0),(5,0),(5,4) e (0,4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
ointCy^2,dx + x^2y,dy
onde C é o retângulo com vértices (0,0), (5,0), (5,4) e (0,4), orientado positivamente (sentido anti-horário). Vamos usar dois métodos: (a) parametrização direta dos quatro lados de C, (b) Teorema de Green, que converte a integral de linha num integral dupla sobre a região interior.

Passo 2

Método direto. Definimos P(x,y)=y^2 e Q(x,y)=x^2y e dividimos C em quatro lados:
C1 &: & (x,y)=(t,0),& tin[0,5], &dx=dt,;dy=0, C2 &: & (x,y)=(5,t),& tin[0,4], &dx=0,;dy=dt, C3 &: & (x,y)=(5-t,4),& tin[0,5], &dx=-dt,;dy=0, C4 &: & (x,y)=(0,4-t),& tin[0,4], &dx=0,;dy=-dt
Calculamos
integralC1=integral0^5l(0^2cdot dt + t^2cdot0r)=0,
integralC2=integral0^4l(0 + (5^2,t),dtr) =integral0^425,t,dt=25cdot4^22=200,
integralC3=integral0^5l(4^2cdot(-dt) + 0r) =-16integral0^5dt=-80,
integralC4=integral0^4l(0 + 0cdot(-dt)r)=0
Somando os quatro trechos:
0 + 200 - 80 + 0 = 120

Passo 3

Método de Green. Pelo teorema,
ointCP,dx + Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA,
onde D é o interior do retângulo. Calculamos
partial Qpartial x=2xy, partial Ppartial y=2y,
logo o integrando é 2xy-2y=2y(x-1). Assim
integral duplaD2y(x-1),dA =integraly=0^4integralx=0^52y(x-1),dx,dy
Fazendo a integral em x:
integral0^5(x-1),dx =l[tfracx^22-xr]0^5 =252-5=7,5,
então
integral0^42ycdot7,5,dy =15integral0^4y,dy =15cdot4^22 =15cdot8 =120

Resposta

120

Exercícios relacionados