Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
f(x, y)=2 x e^{\frac{y}{x}}, \quad(2,0)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x e^{\frac{y}{x}} e pede o gradiente dessa função no ponto (2,0).
Informações relevantes que temos:
  • A função é f(x,y)=2x e^{\frac{y}{x}}.
  • O ponto onde queremos o gradiente é (2,0).
  • Observação importante sobre domínio: a expressão \frac{y}{x} exige x\neq0; o ponto (2,0) tem x=2, então está no domínio da função.

Passo 2

O que é o gradiente e o que precisamos calcular:
  • O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Cada derivada parcial significa: derivar f em relação àquela variável mantendo a outra fixa.
  • Nossa tarefa: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} em forma geral e depois avaliar ambos em (2,0).

Passo 3

Preparação para \dfrac{\partial f}{\partial x}: identifique estruturas e regras a usar.
  • Podemos ver f(x,y) como produto de duas funções de x e y:
f(x,y)=u(x,y)\cdot v(x,y),\quad\text{onde}\quad u(x,y)=2x,\; v(x,y)=e^{\frac{y}{x}}.
  • Para derivar em relação a x usamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v + u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Além disso, v(x,y)=e^{\frac{y}{x}} tem uma composição: exponencial de \frac{y}{x}. Para \dfrac{\partial v}{\partial x} aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x} e^{g(x,y)} = e^{g(x,y)}\cdot \frac{\partial g}{\partial x},
com g(x,y)=\dfrac{y}{x}.

Passo 4

Calcule passo a passo \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Primeiro, \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x)=2.
  • Segundo, calcule \dfrac{\partial v}{\partial x} com v=e^{g} e g=\dfrac{y}{x}.
    • Derivada de g em relação a x, mantendo y constante:
    \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(y\cdot x^{-1}\right)=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
    • Aplicando a regra da cadeia:
    \frac{\partial v}{\partial x}=e^{\frac{y}{x}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}}\,e^{\frac{y}{x}}.
  • Agora aplique a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x}= \left(2\right)\cdot e^{\frac{y}{x}} + \left(2x\right)\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\,e^{\frac{y}{x}}\right).

Passo 5

Simplifique a expressão de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • A segunda parcela:
2x\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\,e^{\frac{y}{x}}\right) = -2\frac{y}{x}\,e^{\frac{y}{x}}.
  • Somando com a primeira parcela:
\frac{\partial f}{\partial x}=2 e^{\frac{y}{x}} - 2\frac{y}{x}\,e^{\frac{y}{x}}.
  • Colocando 2 e^{\frac{y}{x}} em evidência:
\frac{\partial f}{\partial x}=2 e^{\frac{y}{x}}\left(1-\frac{y}{x}\right).

Passo 6

Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Agora derivamos f(x,y)=2x e^{\frac{y}{x}} em relação a y, tratando x como constante.
  • A constante 2x sai multiplicando; a derivada de e^{\frac{y}{x}} em relação a y é e^{\frac{y}{x}} vezes a derivada de \frac{y}{x} em relação a y, que é \frac{1}{x}.
  • Assim:
\frac{\partial f}{\partial y}=2x\cdot e^{\frac{y}{x}}\cdot\frac{1}{x}=2 e^{\frac{y}{x}}.

Passo 7

Avalie as derivadas parciais no ponto (2,0).
  • Primeiro calcule \dfrac{y}{x} em (2,0): \dfrac{0}{2}=0.
  • Então e^{\frac{y}{x}}=e^{0}=1.
  • Usando as fórmulas:
    • \frac{\partial f}{\partial x}(2,0)=2\cdot 1\cdot\left(1-\frac{0}{2}\right)=2\cdot 1\cdot 1=2.
    • \frac{\partial f}{\partial y}(2,0)=2\cdot 1=2.
  • Portanto o gradiente em (2,0) é o vetor cujas componentes são esses valores.

Resposta

\nabla f(2,0)=(2,2)

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