Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o gradiente dessa função no ponto
.
Informações relevantes que temos:
- A função é
. - O ponto onde queremos o gradiente é
. - Observação importante sobre domínio: a expressão
exige ; o ponto tem , então está no domínio da função.
Passo 2
O que é o gradiente e o que precisamos calcular:
- O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e a :
- Cada derivada parcial significa: derivar
em relação àquela variável mantendo a outra fixa. - Nossa tarefa: calcular
e em forma geral e depois avaliar ambos em .
Passo 3
Preparação para
: identifique estruturas e regras a usar.
- Podemos ver
como produto de duas funções de e :
- Para derivar em relação a
usamos a regra do produto:
- Além disso,
tem uma composição: exponencial de . Para aplicamos a regra da cadeia:
com
.
Passo 4
Calcule passo a passo
.
- Primeiro,
- Segundo, calcule
com e . - Derivada de
em relação a , mantendo constante:
- Aplicando a regra da cadeia:
- Derivada de
- Agora aplique a regra do produto:
Passo 5
Simplifique a expressão de
.
- A segunda parcela:
- Somando com a primeira parcela:
- Colocando
em evidência:
Passo 6
Calcule
.
- Agora derivamos
em relação a , tratando como constante. - A constante
sai multiplicando; a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a , que é . - Assim:
Passo 7
Avalie as derivadas parciais no ponto
.
- Primeiro calcule
em : . - Então
. - Usando as fórmulas:
-
- Portanto o gradiente em
é o vetor cujas componentes são esses valores.