Encontre \hat{u}, sendo
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=2 u_{x x}+g(x) \\\ u(x, 0)=f(x) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \hat{u} solução do problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} u_{t}=2\,u_{x x}+g(x),\\[4pt] u(x,0)=f(x), \end{array}\right.
ou seja:
  • a incógnita é a função u(x,t) para t\ge 0 e x\in\mathbb{R} (presumo domínio inteiro, já que não foram dadas fronteiras);
  • f(x) é a condição inicial conhecida (valor de u em t=0);
  • g(x) é uma fonte (termo não-homogêneo) que depende só de x, não de t;
  • o objetivo é escrever explicitamente \hat{u}(x,t), a solução do problema.]

Passo 2

Ideia geral (sem computações pesadas ainda): para a equação do calor com coeficiente de difusão 2 existe um núcleo fundamental (heat kernel) que serve para “propagar” a condição inicial. Vou apresentar esse núcleo e explicar o que significa.
O núcleo fundamental para a equação u_{t}=2u_{xx} é a função (para t>0)
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{8\pi t}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{8t}}.
Explicação didática: G(x,t) é a resposta em x no tempo t a uma condição inicial sendo uma massa unitária concentrada em 0 (a “delta de Dirac”). As propriedades importantes são:
  • \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} G(x,t)\,dx=1 (conserva massa);
  • quando t\downarrow 0, G(\cdot,t) tende à distribuição delta, isto é, G(\cdot,t)*\varphi\to\varphi para funções testadas \varphi;
  • o expoente tem a forma -x^{2}/(4\cdot 2 t) porque o coeficiente de difusão é 2. (Para u_t=\kappa u_{xx} o núcleo é (4\pi\kappa t)^{-1/2}e^{-x^2/(4\kappa t)}.)

Passo 3

Solução do problema homogêneo (sem g). Se a equação fosse u_t=2u_{xx} com u(x,0)=f(x), a solução é a convolução de f com o núcleo:
u_{\text{hom}}(x,t)=(G(\cdot,t)*f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}G(x-y,t)\,f(y)\,dy.
O que é convolução? Para funções p,q definimos
(p*q)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x-y)\,q(y)\,dy.
Intuitivamente, cada ponto y da condição inicial contribui para x no tempo t com peso G(x-y,t).

Passo 4

Incluir o termo fonte g(x) (que não depende de t). Aqui usamos o princípio de Duhamel (uma forma de “superpor” efeitos temporais): a solução da equação não-homogênea
u_t=2u_{xx}+S(x,t),\qquad u(x,0)=f(x),
é dada por
u(x,t)=G(\cdot,t)*f(x)+\int_{0}^{t} G(\cdot,t-s)*S(\cdot,s)\,ds,
onde a notação G(\cdot,t-s)*S(\cdot,s) significa convolução espacial em y:
\bigl(G(\cdot,t-s)*S(\cdot,s)\bigr)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t-s)\,S(y,s)\,dy.
Aplicando isto com S(x,t)=g(x) (independente de t) obtemos
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,f(y)\,dy +\int_{0}^{t}\!\!\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t-s)\,g(y)\,dy\,ds.

Passo 5

Simplificação quando g não depende de t. Como g(y) é constante em s dentro da integral, podemos trocar a ordem e usar mudança de variável \tau=t-s para ver que
\int_{0}^{t} G(x-y,t-s)\,ds=\int_{0}^{t} G(x-y,\tau)\,d\tau.
Portanto a contribuição do termo fonte pode ser escrita como a convolução da função espacial g com o kernel temporal integrado:
\int_{0}^{t}\!\!\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t-s)\,g(y)\,dy\,ds =\int_{-\infty}^{\infty}\Bigl(\int_{0}^{t} G(x-y,\tau)\,d\tau\Bigr)\,g(y)\,dy.
Definindo um kernel integrado \displaystyle H(x,t):=\int_{0}^{t} G(x,t)\,dt (observação: troquei a variável de integração por clareza), obtemos a forma compacta
\hat{u}(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y,t)\,f(y)\,dy +\int_{-\infty}^{\infty} H(x-y,t)\,g(y)\,dy.

Passo 6

Verificação rápida (por que essa fórmula resolve o PDE e satisfaz a condição inicial). Dois pontos essenciais:
  1. Condição inicial: como G(\cdot,t) tende à delta quando t\downarrow 0, temos \int G(x-y,t)f(y)\,dy\to f(x) e \int_{0}^{t}G(\cdot,\tau)\,d\tau\to 0, então u(x,0)=f(x).
  2. Equação diferencial: aplicando a derivada em t e usando regra de Leibniz na integral em s:
\partial_{t}\biggl(\int_{0}^{t} G(x-y,t-s)\,ds\biggr)=G(x-y,0)+\int_{0}^{t}\partial_{t}G(x-y,t-s)\,ds.
Aqui G(\cdot,0) atua como delta, produzindo g(x) quando convoluído com g(y). Além disso \partial_{t}G=2\partial_{xx}G. Juntando tudo e lembrando que derivar a convolução é o mesmo que convoluir derivada espacial, chega-se a
u_{t}=2u_{xx}+g(x),
mostrando que a expressão é solução da PDE.

Passo 7

Escrevendo tudo explicitamente com o núcleo G definido no Passo 2, a solução é
\hat{u}(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{8\pi t}}\,\mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{8t}}\,f(y)\,dy +\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{8\pi s}}\,\mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{8s}}\,ds\right)\,g(y)\,dy.
Comentário final encorajador: essa é a forma padrão que aparece em provas — memoriza a decomposição “parte homogênea (convolução com f) + parte criada pela fonte (integral temporal da convolução com g)” e sempre lembra do kernel G correspondente ao coeficiente de difusão.

Resposta

\displaystyle \hat{u}(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{8\pi t}}\,\mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{8t}}\,f(y)\,dy +\int_{-\infty}^{\infty}\Biggl(\int_{0}^{t}\frac{1}{\sqrt{8\pi s}}\,\mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{8s}}\,ds\Biggr)\,g(y)\,dy

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