Encontre
, sendo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
solução do problema de valor inicial
ou seja:
- a incógnita é a função
para e (presumo domínio inteiro, já que não foram dadas fronteiras); -
é a condição inicial conhecida (valor de em ); -
é uma fonte (termo não-homogêneo) que depende só de , não de ; - o objetivo é escrever explicitamente
, a solução do problema.]
Passo 2
Ideia geral (sem computações pesadas ainda): para a equação do calor com coeficiente de difusão
existe um núcleo fundamental (heat kernel) que serve para “propagar” a condição inicial. Vou apresentar esse núcleo e explicar o que significa.
O núcleo fundamental para a equação
é a função (para
)
Explicação didática:
é a resposta em
no tempo
a uma condição inicial sendo uma massa unitária concentrada em
(a “delta de Dirac”). As propriedades importantes são:
-
(conserva massa); - quando
, tende à distribuição delta, isto é, para funções testadas ; - o expoente tem a forma
porque o coeficiente de difusão é . (Para o núcleo é .)
Passo 3
Solução do problema homogêneo (sem
). Se a equação fosse
com
, a solução é a convolução de
com o núcleo:
O que é convolução? Para funções
definimos
Intuitivamente, cada ponto
da condição inicial contribui para
no tempo
com peso
.
Passo 4
Incluir o termo fonte
(que não depende de
). Aqui usamos o princípio de Duhamel (uma forma de “superpor” efeitos temporais): a solução da equação não-homogênea
é dada por
onde a notação
significa convolução espacial em
:
Aplicando isto com
(independente de
) obtemos
Passo 5
Simplificação quando
não depende de
. Como
é constante em
dentro da integral, podemos trocar a ordem e usar mudança de variável
para ver que
Portanto a contribuição do termo fonte pode ser escrita como a convolução da função espacial
com o kernel temporal integrado:
Definindo um kernel integrado
(observação: troquei a variável de integração por clareza), obtemos a forma compacta
Passo 6
Verificação rápida (por que essa fórmula resolve o PDE e satisfaz a condição inicial). Dois pontos essenciais:
- Condição inicial: como
tende à delta quando , temos e , então . - Equação diferencial: aplicando a derivada em
e usando regra de Leibniz na integral em :
Aqui
atua como delta, produzindo
quando convoluído com
. Além disso
. Juntando tudo e lembrando que derivar a convolução é o mesmo que convoluir derivada espacial, chega-se a
mostrando que a expressão é solução da PDE.
Passo 7
Escrevendo tudo explicitamente com o núcleo
definido no Passo 2, a solução é
Comentário final encorajador: essa é a forma padrão que aparece em provas — memoriza a decomposição “parte homogênea (convolução com
) + parte criada pela fonte (integral temporal da convolução com
)” e sempre lembra do kernel
correspondente ao coeficiente de difusão.