Encontre u(x, t), sendo
\hat{u}(\omega, t)=\mathrm{e}^{2 t} \hat{g}(\omega) \mathrm{e}^{i \omega t}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Nos é dada a transformada de Fourier (em função de \omega e do tempo t) da função u(x,t): \hat{u}(\omega,t)=\mathrm{e}^{2 t}\,\hat{g}(\omega)\,\mathrm{e}^{i \omega t}.
  • A tarefa é encontrar u(x,t), ou seja, recuperar a função no espaço x e no tempo t.
Informações relevantes que vamos usar (não vou assumir nada mais do que isto): \hat{g}(\omega) é a transformada de Fourier em x de alguma função g(x). Não foi dada outra norma de normalização, por isso vamos usar a convenção padrão:
\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, \mathrm{e}^{-i\omega x}\,dx,
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega)\, \mathrm{e}^{i\omega x}\,d\omega.

Passo 2

Lembrete didático sobre a transformada inversa e a propriedade de deslocamento:
  • A transformada inversa (na convenção acima) recupera f(x) a partir de \hat{f}(\omega) por
    f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)\,\mathrm{e}^{i\omega x}\,d\omega.
    Aqui \hat{f}(\omega) é a função no domínio das frequências, \omega é a variável de frequência, e x é a variável espacial onde queremos recuperar f.
  • Propriedade importante (deslocamento no espaço): se \hat{g}(\omega) é a transformada de g(x), então
    \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{g}(\omega)\,\mathrm{e}^{i\omega (x+a)}\,d\omega = g(x+a).
    Ou seja, multiplicar \hat{g}(\omega) por \mathrm{e}^{i\omega a} na frequência corresponde a deslocar g no espaço por -a ou +a conforme a sinalização; aqui, com nossa convenção, a integral acima dá g(x+a). Essa propriedade vem diretamente da forma da inversa: substituir x por x+a na fórmula da inversa.

Passo 3

Aplicar a transformada inversa a \hat{u}(\omega,t):
Pelo definição da transformada inversa, a função u(x,t) é
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{u}(\omega,t)\,\mathrm{e}^{i\omega x}\,d\omega.
Agora substituímos a expressão dada para \hat{u}(\omega,t):
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{2t}\,\hat{g}(\omega)\,\mathrm{e}^{i\omega t}\right)\mathrm{e}^{i\omega x}\,d\omega.

Passo 4

Simplificação do integral usando a propriedade de deslocamento:
Fatoramos o que não depende de \omega (no caso, \mathrm{e}^{2t}):
u(x,t)=\mathrm{e}^{2t}\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{g}(\omega)\,\mathrm{e}^{i\omega (x+t)}\,d\omega.
Pela definição da transformada inversa e pela propriedade de deslocamento comentada no Passo 2, o integral
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{g}(\omega)\,\mathrm{e}^{i\omega (x+t)}\,d\omega
é exatamente a função g avaliada em x+t, isto é, é g(x+t).

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida com exemplo:
  • Conclusão lógica do Passo 4: u(x,t) é o produto de \mathrm{e}^{2t} pela função g deslocada em x por t.
  • Exemplo para conferir a fórmula (só para ver que faz sentido): se g(x)=\mathrm{e}^{-x^2} então, seguindo o resultado, a solução seria \mathrm{e}^{2t}\,\mathrm{e}^{-(x+t)^2}, o que mostra o efeito de um crescimento exponencial em t combinado com um deslocamento em x.

Resposta

u(x,t)=\mathrm{e}^{2t}\,g(x+t)

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