Encontre
, sendo
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Nos é dada a transformada de Fourier (em função de
e do tempo ) da função : - A tarefa é encontrar
, ou seja, recuperar a função no espaço e no tempo .
Informações relevantes que vamos usar (não vou assumir nada mais do que isto):
é a transformada de Fourier em
de alguma função
. Não foi dada outra norma de normalização, por isso vamos usar a convenção padrão:
Passo 2
Lembrete didático sobre a transformada inversa e a propriedade de deslocamento:
-
A transformada inversa (na convenção acima) recupera
a partir de por Aquié a função no domínio das frequências, é a variável de frequência, e é a variável espacial onde queremos recuperar . -
Propriedade importante (deslocamento no espaço): se
é a transformada de , então Ou seja, multiplicarpor na frequência corresponde a deslocar no espaço por ou conforme a sinalização; aqui, com nossa convenção, a integral acima dá . Essa propriedade vem diretamente da forma da inversa: substituir por na fórmula da inversa.
Passo 3
Aplicar a transformada inversa a
:
Pelo definição da transformada inversa, a função
é
Agora substituímos a expressão dada para
:
Passo 4
Simplificação do integral usando a propriedade de deslocamento:
Fatoramos o que não depende de
(no caso,
):
Pela definição da transformada inversa e pela propriedade de deslocamento comentada no Passo 2, o integral
é exatamente a função
avaliada em
, isto é, é
.
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida com exemplo:
- Conclusão lógica do Passo 4:
é o produto de pela função deslocada em por . - Exemplo para conferir a fórmula (só para ver que faz sentido): se
então, seguindo o resultado, a solução seria , o que mostra o efeito de um crescimento exponencial em combinado com um deslocamento em .