Encontre as soluções fundamentais para o problema de Dirichlet no setor de ângulo \pi / 2, fora da circunferência de raio a :
\left\{\begin{array}{l} u_{r r}+\frac{1}{r} u_{r}+\frac{1}{r^{2}} u_{\theta \theta}=0 \\\ u(r, 0)=0=u(r, \pi / 2) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as “soluções fundamentais” do problema de Dirichlet no setor de ângulo \pi/2, na região exterior à circunferência de raio a. As informações dadas são:
  • A equação diferencial é a equação de Laplace em coordenadas polares:
u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=0.
  • As condições de contorno são valores nulos nas duas semi-retas que formam as bordas do setor:
u(r,0)=0,\qquad u(r,\pi/2)=0.
  • A região onde se busca u é o conjunto \{(r,\theta)\mid r>a,\;0<\theta<\pi/2\} (fora da circunferência de raio a e dentro do setor de ângulo \pi/2).
O que nos é pedido: descrever as soluções fundamentais (ou base de soluções) que são harmônicas (satisfazem Laplace) nessa região e que satisfazem as condições de contorno em \theta=0 e \theta=\pi/2. Não há outra condição explícita (por exemplo comportamento no infinito), então teremos a forma geral das soluções e explicaremos a escolha das parcelas apropriadas para o domínio exterior.

Passo 2

Vamos usar a hipótese de solução por separação de variáveis: assumimos uma solução na forma produto entre uma função radial e uma angular:
u(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta).
Isto é natural quando a equação e a geometria são em coordenadas polares. Substituindo essa forma na equação de Laplace e dividindo por R\Theta separa-se as variáveis, como vou mostrar no próximo passo.
Explicação curta do porquê: a ideia é transformar uma PDE em duas ODEs mais simples, uma que depende só de r e outra só de \theta. Isso funciona quando a equação e o domínio têm simetrias, como aqui.

Passo 3

Substituindo u=R(r)\Theta(\theta) na equação e dividindo por R\Theta obtemos:
\frac{R''(r)+\frac{1}{r}R'(r)}{R(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)}=0.
Multiplicando por r^2 e rearranjando,
r^2\frac{R''}{R}+r\frac{R'}{R} + \frac{\Theta''}{\Theta}=0.
Como o primeiro termo depende só de r e o último só de \theta, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamamos de -\lambda. Assim obtemos as duas ODEs separadas:
\Theta''+\lambda\Theta=0,
r^2R''+rR'-\lambda R=0.
Aqui \lambda é a constante de separação (autovalor). Agora impondo as condições angulares vamos descobrir quais \lambda são permitidos.

Passo 4

Agora tratamos a equação angular com as condições de contorno:
\Theta''+\lambda\Theta=0,\qquad \Theta(0)=0,\;\Theta(\pi/2)=0.
Essa é uma equação de autovalores clássica. Vamos distinguir casos:
  • Se \lambda=0, então \Theta''=0 e \Theta(\theta)=A+B\theta. Impor \Theta(0)=0 A=0. Impor \Theta(\pi/2)=0 B=0. Resultado: \Theta\equiv0 (solução trivial), portanto \lambda=0 não gera solução não-trivial.
  • Se \lambda>0, escrevemos \lambda=\mu^2 com \mu>0. A solução geral é \Theta(\theta)=C\cos(\mu\theta)+D\sin(\mu\theta). Impor \Theta(0)=0 força C=0. Então \Theta(\theta)=D\sin(\mu\theta). Impor \Theta(\pi/2)=0 \sin(\mu\pi/2)=0, ou seja \mu\pi/2 = n\pi para algum n\in\mathbb{Z}. Assim \mu=2n. Como \mu>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Logo
\lambda=(2n)^2=4n^2,\qquad \Theta_n(\theta)=\sin(2n\theta),\quad n=1,2,\dots
  • Se \lambda<0 não há solução angular que satisfaça as duas condições de Dirichlet ao mesmo tempo (apenas a solução trivial), então não nos interessa.
Resumo: os autovalores relevantes são \lambda_n=4n^2 e as autofunções angulares são \Theta_n(\theta)=\sin(2n\theta), n\ge1. Observe que \sin(2n\cdot0)=0 e \sin(2n\cdot\pi/2)=\sin(n\pi)=0, portanto as condições angulares são satisfeitas.

Passo 5

Agora resolvemos a equação radial correspondente a cada \lambda_n:
r^2R''+rR'-\lambda_n R=0,\qquad \lambda_n=4n^2.
Essa é uma equação de Euler-Cauchy (também chamada equação equidimensional). Para esse tipo de equação a solução geral tem a forma R(r)=r^s. Substituindo R=r^s obtemos a equação do expoente:
s(s-1)+s-\lambda_n=0 \quad\Longrightarrow\quad s^2-\lambda_n=0.
Portanto s=\pm\sqrt{\lambda_n}=\pm 2n. Assim as duas soluções independentes são r^{2n} e r^{-2n}. Logo, para cada n\ge1,
R_n(r)=A_n r^{2n}+B_n r^{-2n}.
Explicação do que significam essas duas parcelas: r^{2n} cresce rapidamente com r (para n\ge1), enquanto r^{-2n} decai quando r\to\infty. Em problemas em regiões interiores (incluindo a origem) escolhemos as parcelas que permanecem finitas na origem; em regiões exteriores (como aqui, r>a) normalmente escolhemos as parcelas que não fazem a função explodir no infinito, salvo se houver condição em contrário.

Passo 6

Combinando a parte radial e a angular, cada modo separado dá uma solução harmônica
u_n(r,\theta)=\big(A_n r^{2n}+B_n r^{-2n}\big)\sin(2n\theta),\qquad n=1,2,\dots
Como a equação é linear, a combinação linear de tais modos também é solução. Portanto a solução geral (formal) que satisfaz as condições angulares é a série:
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty \big(A_n r^{2n}+B_n r^{-2n}\big)\sin(2n\theta).
Aqui os coeficientes A_n,B_n serão determinados por condições adicionais (por exemplo valor prescrito da função sobre r=a, isto é, a condição de contorno na circunferência).

Passo 7

Agora especializamos ao domínio exterior ao círculo de raio a. Em muitos problemas de Dirichlet em domínio exterior pede-se que a solução seja limitada no infinito ou que decaia quando r\to\infty. Se exigirmos que u permaneça limitada (ou vá a zero) quando r\to\infty, então temos de eliminar as parcelas que crescem com r. Assim tomamos A_n=0 para todo n e ficamos com
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty B_n r^{-2n}\sin(2n\theta),\qquad r\ge a,\;0<\theta<\pi/2.
Essas funções são harmônicas em r>a, satisfazem as condições angulares e decaem quando r\to\infty.
Se, pelo contrário, não houver condição no infinito e for permitido crescimento, a forma geral com ambos termos é válida; mas em aplicações físicas ou de potenciais é comum exigir decaimento e, portanto, usar apenas os termos r^{-2n}.

Passo 8

Como complemento didático: se tivermos uma condição de Dirichlet na circunferência r=a\), \[u(a,\theta)=f(\theta),\qquad 0<\theta<\pi/2,
com f(0)=f(\pi/2)=0 (compatível com as bordas), então expandimos f numa série de senos apropriada:
f(\theta)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin(2n\theta).
Para determinar b_n usamos a ortogonalidade das funções \sin(2n\theta) no intervalo (0,\pi/2). A regra é
\int_0^{\pi/2}\sin(2n\theta)\sin(2m\theta)\,d\theta=\begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \displaystyle\frac{\pi}{4},& n=m. \end{cases}
Assim os coeficientes são
b_n=\frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} f(\theta)\sin(2n\theta)\,d\theta.
Comparando com a série para u(a,\theta)\] e usando que \(u(a,\theta)=\sum B_n a^{-2n}\sin(2n\theta), obtemos
B_n = a^{2n} b_n = a^{2n}\frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} f(\theta)\sin(2n\theta)\,d\theta.
Portanto a solução exterior que decai no infinito é
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty \left(a^{2n}\frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} f(\varphi)\sin(2n\varphi)\,d\varphi\right) r^{-2n}\sin(2n\theta).
Isto mostra concretamente como obter os coeficientes na prática na hora da prova: calcule os b_n pela integral de projeção e multiplique por a^{2n} para achar B_n.]

Passo 9

Exemplinho rápido para fixar: se f(\theta)=\sin(2\theta) em r=a, então só o modo n=1 aparece com b_1=1 e b_{n\ne1}=0. Assim B_1=a^{2} e a solução exterior que decai é
u(r,\theta)=a^{2} r^{-2}\sin(2\theta)=\left(\frac{a}{r}\right)^{2}\sin(2\theta).
Isto é uma função harmônica fora do círculo que vale \sin(2\theta) em r=a e tende a zero como r\to\infty.

Resposta

u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty\big(A_n r^{2n}+B_n r^{-2n}\big)\sin(2n\theta)
(sol. geral que satisfaz u(r,0)=u(r,\pi/2)=0).\n
Para o problema exterior exigindo decaimento em r\to\infty:
u(r,\theta)=\sum_{n=1}^\infty B_n r^{-2n}\sin(2n\theta),
com
B_n=a^{2n}\frac{4}{\pi}\int_0^{\pi/2} f(\varphi)\sin(2n\varphi)\,d\varphi
quando u(a,\theta)=f(\theta).

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