O enunciado pede para encontrar as “soluções fundamentais” do problema de Dirichlet no setor de ângulo \pi/2, na região exterior à circunferência de raio a. As informações dadas são:
A equação diferencial é a equação de Laplace em coordenadas polares:
As condições de contorno são valores nulos nas duas semi-retas que formam as bordas do setor:
u(r,0)=0,\qquad u(r,\pi/2)=0.
A região onde se busca u é o conjunto \{(r,\theta)\mid r>a,\;0<\theta<\pi/2\} (fora da circunferência de raio a e dentro do setor de ângulo \pi/2).
O que nos é pedido: descrever as soluções fundamentais (ou base de soluções) que são harmônicas (satisfazem Laplace) nessa região e que satisfazem as condições de contorno em \theta=0 e \theta=\pi/2. Não há outra condição explícita (por exemplo comportamento no infinito), então teremos a forma geral das soluções e explicaremos a escolha das parcelas apropriadas para o domínio exterior.
Passo 2
Vamos usar a hipótese de solução por separação de variáveis: assumimos uma solução na forma produto entre uma função radial e uma angular:
u(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta).
Isto é natural quando a equação e a geometria são em coordenadas polares. Substituindo essa forma na equação de Laplace e dividindo por R\Theta separa-se as variáveis, como vou mostrar no próximo passo.
Explicação curta do porquê: a ideia é transformar uma PDE em duas ODEs mais simples, uma que depende só de r e outra só de \theta. Isso funciona quando a equação e o domínio têm simetrias, como aqui.
Passo 3
Substituindo u=R(r)\Theta(\theta) na equação e dividindo por R\Theta obtemos:
Como o primeiro termo depende só de r e o último só de \theta, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamamos de -\lambda. Assim obtemos as duas ODEs separadas:
\Theta''+\lambda\Theta=0,
r^2R''+rR'-\lambda R=0.
Aqui \lambda é a constante de separação (autovalor). Agora impondo as condições angulares vamos descobrir quais \lambda são permitidos.
Passo 4
Agora tratamos a equação angular com as condições de contorno:
Essa é uma equação de autovalores clássica. Vamos distinguir casos:
Se \lambda=0, então \Theta''=0 e \Theta(\theta)=A+B\theta. Impor \Theta(0)=0 dá A=0. Impor \Theta(\pi/2)=0 dá B=0. Resultado: \Theta\equiv0 (solução trivial), portanto \lambda=0 não gera solução não-trivial.
Se \lambda>0, escrevemos \lambda=\mu^2 com \mu>0. A solução geral é \Theta(\theta)=C\cos(\mu\theta)+D\sin(\mu\theta). Impor \Theta(0)=0 força C=0. Então \Theta(\theta)=D\sin(\mu\theta). Impor \Theta(\pi/2)=0 dá \sin(\mu\pi/2)=0, ou seja \mu\pi/2 = n\pi para algum n\in\mathbb{Z}. Assim \mu=2n. Como \mu>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Logo
Se \lambda<0 não há solução angular que satisfaça as duas condições de Dirichlet ao mesmo tempo (apenas a solução trivial), então não nos interessa.
Resumo: os autovalores relevantes são \lambda_n=4n^2 e as autofunções angulares são \Theta_n(\theta)=\sin(2n\theta), n\ge1. Observe que \sin(2n\cdot0)=0 e \sin(2n\cdot\pi/2)=\sin(n\pi)=0, portanto as condições angulares são satisfeitas.
Passo 5
Agora resolvemos a equação radial correspondente a cada \lambda_n:
r^2R''+rR'-\lambda_n R=0,\qquad \lambda_n=4n^2.
Essa é uma equação de Euler-Cauchy (também chamada equação equidimensional). Para esse tipo de equação a solução geral tem a forma R(r)=r^s. Substituindo R=r^s obtemos a equação do expoente:
Portanto s=\pm\sqrt{\lambda_n}=\pm 2n. Assim as duas soluções independentes são r^{2n} e r^{-2n}. Logo, para cada n\ge1,
R_n(r)=A_n r^{2n}+B_n r^{-2n}.
Explicação do que significam essas duas parcelas: r^{2n} cresce rapidamente com r (para n\ge1), enquanto r^{-2n} decai quando r\to\infty. Em problemas em regiões interiores (incluindo a origem) escolhemos as parcelas que permanecem finitas na origem; em regiões exteriores (como aqui, r>a) normalmente escolhemos as parcelas que não fazem a função explodir no infinito, salvo se houver condição em contrário.
Passo 6
Combinando a parte radial e a angular, cada modo separado dá uma solução harmônica
Como a equação é linear, a combinação linear de tais modos também é solução. Portanto a solução geral (formal) que satisfaz as condições angulares é a série:
Aqui os coeficientes A_n,B_n serão determinados por condições adicionais (por exemplo valor prescrito da função sobre r=a, isto é, a condição de contorno na circunferência).
Passo 7
Agora especializamos ao domínio exterior ao círculo de raio a. Em muitos problemas de Dirichlet em domínio exterior pede-se que a solução seja limitada no infinito ou que decaia quando r\to\infty. Se exigirmos que u permaneça limitada (ou vá a zero) quando r\to\infty, então temos de eliminar as parcelas que crescem com r. Assim tomamos A_n=0 para todo n e ficamos com
Essas funções são harmônicas em r>a, satisfazem as condições angulares e decaem quando r\to\infty.
Se, pelo contrário, não houver condição no infinito e for permitido crescimento, a forma geral com ambos termos é válida; mas em aplicações físicas ou de potenciais é comum exigir decaimento e, portanto, usar apenas os termos r^{-2n}.
Passo 8
Como complemento didático: se tivermos uma condição de Dirichlet na circunferência r=a\),
\[u(a,\theta)=f(\theta),\qquad 0<\theta<\pi/2,
com f(0)=f(\pi/2)=0 (compatível com as bordas), então expandimos f numa série de senos apropriada:
f(\theta)=\sum_{n=1}^\infty b_n \sin(2n\theta).
Para determinar b_n usamos a ortogonalidade das funções \sin(2n\theta) no intervalo (0,\pi/2). A regra é
Isto mostra concretamente como obter os coeficientes na prática na hora da prova: calcule os b_n pela integral de projeção e multiplique por a^{2n} para achar B_n.]
Passo 9
Exemplinho rápido para fixar: se f(\theta)=\sin(2\theta) em r=a, então só o modo n=1 aparece com b_1=1 e b_{n\ne1}=0. Assim B_1=a^{2} e a solução exterior que decai é