Sabendo-se que u_{n}(x, y)=c_{n} \operatorname{senh}(n \pi x / b) \operatorname{sen}(n \pi y / b), n=1,2, \cdots são soluções do problema
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u(x, y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u(x, y)}{\partial y^{2}}=0 \\\ u(x, 0)=0=u(x, b) \\\ u(0, y)=0 \end{array}\right.
resolva o problema abaixo
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u(x, y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u(x, y)}{\partial y^{2}}=0 \\\ u(x, 0)=0=u(x, \pi) \\\ u(0, y)=0 \\\ u(\pi, y)=\operatorname{sen}(4 y)-3 \operatorname{sen}(8 y) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação
\frac{\partial^{2} u(x,y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u(x,y)}{\partial y^{2}}=0
no retângulo 0\le x\le \pi,\;0\le y\le \pi com as condições de contorno
u(x,0)=0,\quad u(x,\pi)=0,\quad u(0,y)=0,\quad u(\pi,y)=\sin(4y)-3\sin(8y).
O enunciado já nos dá uma família de soluções do tipo
u_n(x,y)=c_n\operatorname{senh}\!\left(\frac{n\pi x}{b}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi y}{b}\right), \quad n=1,2,\dots
para um retângulo com parâmetro b. Neste problema específico temos b=\pi, então as formas esperadas serão combinações de \operatorname{sinh}(n x) em x e \sin(n y) em y.

Passo 2

Vamos procurar soluções por separação de variáveis: suponha
u(x,y)=X(x)\,Y(y),
onde X depende só de x e Y só de y. Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (onde não são nulos) temos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0.
Isolando termos dependendo só de x e só de y obtemos uma constante de separação \lambda:
\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = \lambda.
Isso gera dois EDOs independentes:
X''(x)-\lambda X(x)=0,\qquad Y''(y)+\lambda Y(y)=0.

Passo 3

Agora imponha as condições em y:
Y(0)=0,\qquad Y(\pi)=0.
A equação \;Y''(y)+\lambda Y(y)=0\; com essas condições de Dirichlet tem autovalores e autovetores clássicos. Para obter soluções não triviais precisamos \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, e as funções próprias são
Y_n(y)=\sin(n y).
Explicação curta sobre por que: a equação com \lambda>0 dá combinações de \sin e \cos; as condições Y(0)=Y(\pi)=0 forçam os modos \sin(n y) e quantizam \lambda=n^2. Estas funções \sin(ny) são ortogonais em [0,\pi], propriedade que usaremos para expandir a condição de contorno em y.

Passo 4

Para cada n a equação para X fica
X''(x)-n^{2}X(x)=0.
A solução geral desta equação é
X(x)=A e^{n x}+B e^{-n x}=C\operatorname{cosh}(n x)+D\operatorname{sinh}(n x).
Impondo u(0,y)=0 para todo y temos X(0)Y_n(y)=0 e, como Y_n não é identicamente zero, precisa X(0)=0. Como \operatorname{cosh}(0)=1 e \operatorname{sinh}(0)=0, isso força C=0. Portanto
X_n(x)=D_n\operatorname{sinh}(n x).
Ou seja, cada modo separável tem a forma
u_n(x,y)=D_n\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y).
Isto coincide com a família dada no enunciado se tomarmos b=\pi (pois \operatorname{sinh}(n\pi x/b)=\operatorname{sinh}(n x) quando b=\pi).

Passo 5

Pela linearidade da equação de Laplace, a solução geral que respeita as três condições homogêneas u(x,0)=0,\;u(x,\pi)=0,\;u(0,y)=0 é combinação linear dos modos:
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y),
onde os coeficientes A_n serão determinados impondo a condição em x=\pi.

Passo 6

Impondo u(\pi,y)=\sin(4y)-3\sin(8y) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}A_n\operatorname{sinh}(n\pi)\sin(n y)=\sin(4y)-3\sin(8y).
Logo a função f(y)=\sin(4y)-3\sin(8y) deve ser representada como série de senos:
f(y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin(n y),
com B_n dados pela fórmula dos coeficientes da série de Fourier seno:
B_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(y)\sin(n y)\,dy.
Mas, como f(y) já é uma combinação de senos ortogonais, as integrais simplificam muito.

Passo 7

Calculemos os coeficientes B_n\) usando ortogonalidade. Para \(m\neq n\) temos \[\int_{0}^{\pi}\sin(m y)\sin(n y)\,dy=0,
e para m=n
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(n y)\,dy=\frac{\pi}{2}.
Assim, para f(y)=\sin(4y)-3\sin(8y) obtemos diretamente
B_n= \begin{cases} 1,& n=4,\\[4pt] -3,& n=8,\\[4pt] 0,& \text{caso contrário.} \end{cases}á
Voltando à igualdade de séries em x=\pi\], \[A_n\operatorname{sinh}(n\pi)=B_n,\] portanto \[A_n=\frac{B_n}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.\] Em particular \[A_4=\frac{1}{\operatorname{sinh}(4\pi)},\qquad A_8=\frac{-3}{\operatorname{sinh}(8\pi)},\] e todos os outros \(A_n são zero.]

Passo 8

Agora temos todos os coeficientes: só os modos n=4 e n=8 aparecem. A solução buscada é, portanto, a combinação linear correspondente (vou escrever a forma final apenas na seção de resposta, conforme pedido).

Resposta

u(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(4x)}{\operatorname{sinh}(4\pi)}\sin(4y)-3\,\frac{\operatorname{sinh}(8x)}{\operatorname{sinh}(8\pi)}\sin(8y).

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