para um retângulo com parâmetro b. Neste problema específico temos b=\pi, então as formas esperadas serão combinações de \operatorname{sinh}(n x) em x e \sin(n y) em y.
Passo 2
Vamos procurar soluções por separação de variáveis: suponha
u(x,y)=X(x)\,Y(y),
onde X depende só de x e Y só de y. Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0.
Dividindo por X(x)Y(y) (onde não são nulos) temos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)} = 0.
Isolando termos dependendo só de x e só de y obtemos uma constante de separação \lambda:
A equação \;Y''(y)+\lambda Y(y)=0\; com essas condições de Dirichlet tem autovalores e autovetores clássicos. Para obter soluções não triviais precisamos \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, e as funções próprias são
Y_n(y)=\sin(n y).
Explicação curta sobre por que: a equação com \lambda>0 dá combinações de \sin e \cos; as condições Y(0)=Y(\pi)=0 forçam os modos \sin(n y) e quantizam \lambda=n^2. Estas funções \sin(ny) são ortogonais em [0,\pi], propriedade que usaremos para expandir a condição de contorno em y.
Impondo u(0,y)=0 para todo y temos X(0)Y_n(y)=0 e, como Y_n não é identicamente zero, precisa X(0)=0. Como \operatorname{cosh}(0)=1 e \operatorname{sinh}(0)=0, isso força C=0. Portanto
X_n(x)=D_n\operatorname{sinh}(n x).
Ou seja, cada modo separável tem a forma
u_n(x,y)=D_n\operatorname{sinh}(n x)\sin(n y).
Isto coincide com a família dada no enunciado se tomarmos b=\pi (pois \operatorname{sinh}(n\pi x/b)=\operatorname{sinh}(n x) quando b=\pi).
Passo 5
Pela linearidade da equação de Laplace, a solução geral que respeita as três condições homogêneas u(x,0)=0,\;u(x,\pi)=0,\;u(0,y)=0 é combinação linear dos modos:
Voltando à igualdade de séries em x=\pi\],
\[A_n\operatorname{sinh}(n\pi)=B_n,\]
portanto
\[A_n=\frac{B_n}{\operatorname{sinh}(n\pi)}.\]
Em particular
\[A_4=\frac{1}{\operatorname{sinh}(4\pi)},\qquad A_8=\frac{-3}{\operatorname{sinh}(8\pi)},\]
e todos os outros \(A_n são zero.]
Passo 8
Agora temos todos os coeficientes: só os modos n=4 e n=8 aparecem. A solução buscada é, portanto, a combinação linear correspondente (vou escrever a forma final apenas na seção de resposta, conforme pedido).