Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar para o valor dado de theta.
r=sen 3 theta ; theta=pi / 4

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = sen(3theta)
e pede a inclinação da reta tangente no ponto em que theta = pi/4.
Conteúdo: para curvas polares usamos a parametrização em theta e a fórmula
dydx = dydthetadxdtheta

Passo 2

Escrevemos as coordenadas cartesianas em função de theta:
x(theta) = rcostheta, y(theta) = rsentheta
Logo,
dxdtheta = drdthetacostheta - rsentheta, dydtheta = drdthetasentheta + rcostheta
E a inclinação é
dydx = dydthetadxdtheta = drdthetasentheta + rcostheta drdthetacostheta - rsentheta

Passo 3

Calculamos dfracdrdtheta. Como r=sen(3theta),
drdtheta = 3cos(3theta)

Passo 4

Agora avaliamos em theta=pi/4. Primeiro
3theta = 3cdotpi4 = 3pi4,
então
rl(pi/4r) = sen!l(tfrac3pi4r) = raiz22, drdtheta|theta=pi/4 = 3cos!l(tfrac3pi4r) = 3cdotl(-raiz22r) = -3raiz22

Passo 5

Agora obtemos numerador e denominador da fórmula:
Numerador
drdthetasentheta + rcostheta = l(-tfrac3raiz22r)cdotraiz22 + raiz22cdotraiz22 = -3cdot24 + 24 = -32 + 12 = -1
Denominador
drdthetacostheta - rsentheta = l(-tfrac3raiz22r)cdotraiz22 - raiz22cdotraiz22 = -3cdot24 - 24 = -32 - 12 = -2

Passo 6

Portanto a inclinação é
dydx = -1-2 = 12

Resposta

A inclinação da reta tangente em theta=pi/4 é 12.

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