MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Calcule as seguintes integrais.
Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o que está dentro da raiz de
. Então, deixamos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Observamos que na nossa integral original temos
no numerador, que é exatamente
. Então, podemos substituir na integral:
Passo 5
Agora, a integral está bem mais simples:
. Sabemos que
, então podemos reescrever a integral como:
Passo 6
Integrar
é coisa de mestre! A regra geral para integrar
é:
Aqui,
, então:
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original
, lembrando que
. Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é: