MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Calcule as seguintes integrais.
integral e^xraiz4+e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular a integral integral e^xraiz4+e^x , dx. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar o que está dentro da raiz de u. Então, deixamos:
u = 4 + e^x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = e^x
Isso significa que:
du = e^x , dx

Passo 4

Observamos que na nossa integral original temos e^x , dx no numerador, que é exatamente du. Então, podemos substituir na integral:
integral e^xraiz4+e^x , dx = integral duraizu

Passo 5

Agora, a integral está bem mais simples: integral duraizu. Sabemos que raizu = u^1/2, então podemos reescrever a integral como:
integral u^-1/2 , du

Passo 6

Integrar u^-1/2 é coisa de mestre! A regra geral para integrar u^n é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = -12, então:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2u^1/2 + C

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x, lembrando que u = 4 + e^x. Então, substituindo de volta:
2u^1/2 + C = 2raiz4 + e^x + C

Resposta

Portanto, a integral de e^xraiz4+e^x em relação a x é:
2raiz4 + e^x + C

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