MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Calcule as seguintes integrais.
integral ln (x)x^10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral ln(x)x^10 , dx. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica que é ótima para integrar produtos de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv na fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, uma boa escolha é deixar u = ln(x) porque a derivada de ln(x) é simples, e dv = 1x^10 , dx, que também é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos calcular du e v:
  • Derivando u = ln(x), temos:
du = 1x , dx
  • Integrando dv = 1x^10 , dx, temos:
v = integral 1x^10 , dx = integral x^-10 , dx = x^-9-9 = -19x^9

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x)x^10 , dx = ln(x) cdot (-19x^9) - integral (-19x^9) cdot 1x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= -ln(x)9x^9 + 19 integral 1x^10 , dx
A segunda integral é integral x^-10 , dx, que já sabemos como integrar.

Passo 6

Integrando 1x^10:
integral 1x^10 , dx = integral x^-10 , dx = x^-9-9 = -19x^9

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
-ln(x)9x^9 + 19 (-19x^9) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando os termos:
-ln(x)9x^9 - 181x^9 + C

Resposta

A integral integral ln(x)x^10 , dx é igual a
-ln(x)9x^9 - 181x^9 + C
onde C é a constante de integração.

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