Prove as seguintes identidades trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar uma identidade trigonométrica que envolve as funções seno e cosseno. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar fórmulas de adição de ângulos na trigonometria. Essas fórmulas nos ajudam a expressar funções trigonométricas de somas ou diferenças de ângulos em termos das funções dos ângulos individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da soma de ângulos para o seno:
Essa fórmula diz que o seno da soma de dois ângulos é igual ao seno do primeiro ângulo multiplicado pelo cosseno do segundo, mais o cosseno do primeiro ângulo multiplicado pelo seno do segundo.
Passo 3
Agora, vamos ver a fórmula da diferença de ângulos para o seno:
Aqui, o seno da diferença de dois ângulos é igual ao seno do primeiro ângulo multiplicado pelo cosseno do segundo, menos o cosseno do primeiro ângulo multiplicado pelo seno do segundo.
Passo 4
Observando as duas fórmulas acima, percebemos que elas se encaixam exatamente na identidade que precisamos provar. Para a soma, temos o sinal de mais, e para a subtração, o sinal de menos, correspondendo exatamente ao enunciado dado.
Resposta
Então, provamos que: