(a) Encontre a inclinação da tangente à curva y=2 raizx no ponto onde x=a.
(b) Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1,2) e (9,6).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) achar a inclinação da reta tangente à curva y=2raizx no ponto onde x=a; (b) a partir disso, escrever as equações das retas tangentes nos pontos (1,2) e (9,6). O conteúdo principal aqui é derivada de uma função do tipo potência e aplicação da fórmula da reta tangente.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de
y = 2,x^1/2
Usando a regra da potência,
y' = 2 cdot 12,x^-1/2 = x^-1/2 = 1raizx

Passo 3

A inclinação da reta tangente no ponto de abscissa x=a é
m(a)=y'(a)=1raiza
Nos pontos dados temos
m(1)=1raiz1=1, m(9)=1raiz9=13

Passo 4

Para cada ponto (x0,y0) a reta tangente é
y - y0 = m,(x - x0)
Em (1,2) com m=1:
y-2 = 1,(x-1) ;Longrightarrow; y = x + 1
Em (9,6) com m=tfrac13:
y-6 = 13,(x-9) ;Longrightarrow; y = x3 + 3

Resposta

(a) m(a)=1raiza.
(b) As retas tangentes são
y = x + 1 e y = x3 + 3

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