Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+4 s+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional abaixo; ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}= essa expressão. Dados fornecidos:
\frac{s}{s^{2}+4s+5}.
Pergunta clara: calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+4s+5}\right\}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar o denominador escrevendo-o como um quadrado perfeito mais constante (completar o quadrado). Calculo:
s^{2}+4s+5 = (s^{2}+4s+4)+1 = (s+2)^{2}+1.
Isso é útil porque as formas (s+a)^{2}+b^{2} aparecem nas tabelas de transformadas de seno e cosseno amortecidos.

Passo 3

Queremos relacionar o numerador com (s+2) para usar diretamente as formas conhecidas. Escrevo s como (s+2)-2:
s = (s+2)-2.

Passo 4

Substituo essa decomposição no quociente e separo em duas frações:
\frac{s}{s^{2}+4s+5} = \frac{(s+2)-2}{(s+2)^{2}+1} = \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} \;-\; \frac{2}{(s+2)^{2}+1}.
Agora cada parcela tem uma forma que reconhecemos nas tabelas de Laplace.

Passo 5

Relembrando as fórmulas básicas (essas são as correspondências que usamos para inverter a transformada):
\mathcal{L}\{e^{-at}\cos(bt)\} = \frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\} = \frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a é a taxa de decaimento exponencial (se positivo, aparece como e^{-at}) e b é a frequência do seno/cosseno. Essas fórmulas valem para t\ge 0 e para s na região de convergência adequada.

Passo 6

Comparando as parcelas obtidas em

Passo 7

  • Para a primeira parcela:
\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} \longleftrightarrow e^{-2t}\cos(t).
  • Para a segunda parcela:
\frac{2}{(s+2)^{2}+1} = 2\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+1}.
E \frac{1}{(s+2)^{2}+1} corresponde a e^{-2t}\sin(t) (pois b=1). Multiplicando por 2 como constante fora da transformada, obtemos 2e^{-2t}\sin(t).

Passo 8

Agora juntamos os dois resultados (lembrando o sinal menos da segunda parcela):
f(t) = e^{-2t}\cos(t) - 2\,e^{-2t}\sin(t).
Posso fatorar e^{-2t} se quiser deixar mais compacto:
f(t) = e^{-2t}\big(\cos t - 2\sin t\big),\qquad t\ge 0.

Resposta

\;f(t)=e^{-2t}\big(\cos t-2\sin t\big),\;t\ge 0

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