Encontre
ou
como indicado.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional abaixo; ou seja, encontrar
tal que
essa expressão. Dados fornecidos:
Pergunta clara: calcular
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar o denominador escrevendo-o como um quadrado perfeito mais constante (completar o quadrado). Calculo:
Isso é útil porque as formas
aparecem nas tabelas de transformadas de seno e cosseno amortecidos.
Passo 3
Queremos relacionar o numerador com
para usar diretamente as formas conhecidas. Escrevo
como
:
Passo 4
Substituo essa decomposição no quociente e separo em duas frações:
Agora cada parcela tem uma forma que reconhecemos nas tabelas de Laplace.
Passo 5
Relembrando as fórmulas básicas (essas são as correspondências que usamos para inverter a transformada):
Aqui
é a taxa de decaimento exponencial (se positivo, aparece como
) e
é a frequência do seno/cosseno. Essas fórmulas valem para
e para
na região de convergência adequada.
Passo 6
Comparando as parcelas obtidas em
Passo 7
- Para a primeira parcela:
- Para a segunda parcela:
E
corresponde a
(pois
). Multiplicando por
como constante fora da transformada, obtemos
.
Passo 8
Agora juntamos os dois resultados (lembrando o sinal menos da segunda parcela):
Posso fatorar
se quiser deixar mais compacto: