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ou
como indicado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
Informações dadas: a função a transformar é
multiplicado pelo quadrado de
. O objetivo é encontrar
e indicar a região de convergência adequada, se for necessário.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: expandir o quadrado
. Isso é só multiplicação de binômios:
Como
, obtemos
Multiplicando por
,
Passo 3
Vou lembrar uma definição básica e útil: a transformada de Laplace de uma função
é
quando essa integral converge. Em particular, para exponenciais simples temos a integral
Se
essa integral converge e o resultado é
Expliquei isso para você lembrar de onde vem a fórmula e como identificar a condição de existência.
Passo 4
Outra propriedade muito prática (e que usamos muito em provas) é a relação entre multiplicação por
no domínio temporal e derivação em
. Se
então
Breve justificativa: diferencio a integral que define
em relação a
e uso diferenciação sob o sinal de integral:
Portanto
. Vou aplicar isso ao caso
: como
, temos
Observe que a condição de convergência para
é
.
Passo 5
Agora aplico a linearidade da transformada de Laplace ao somatório obtido no Passo 2. Temos três termos:
Somando:
A região de convergência é determinada pelo maior crescimento exponencial presente na soma, que é
. Portanto a transformada existe para