Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
\mathcal{L}\left\{t\left(e^{t}+e^{2 t}\right)^{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace
\mathcal{L}\{t\,(e^{t}+e^{2t})^{2}\}.
Informações dadas: a função a transformar é t multiplicado pelo quadrado de e^{t}+e^{2t}. O objetivo é encontrar F(s)=\mathcal{L}\{t\,(e^{t}+e^{2t})^{2}\} e indicar a região de convergência adequada, se for necessário.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: expandir o quadrado (e^{t}+e^{2t})^{2}. Isso é só multiplicação de binômios:
(e^{t}+e^{2t})^{2} = e^{2t} + 2e^{t}e^{2t} + e^{4t}.
Como e^{t}e^{2t}=e^{3t}, obtemos
(e^{t}+e^{2t})^{2} = e^{2t} + 2e^{3t} + e^{4t}.
Multiplicando por t,
t\,(e^{t}+e^{2t})^{2} = t e^{2t} + 2t e^{3t} + t e^{4t}.

Passo 3

Vou lembrar uma definição básica e útil: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
quando essa integral converge. Em particular, para exponenciais simples temos a integral
\mathcal{L}\{e^{a t}\} = \int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Se \Re(s)> \Re(a) essa integral converge e o resultado é
\mathcal{L}\{e^{a t}\} = \frac{1}{s-a}.
Expliquei isso para você lembrar de onde vem a fórmula e como identificar a condição de existência.

Passo 4

Outra propriedade muito prática (e que usamos muito em provas) é a relação entre multiplicação por t no domínio temporal e derivação em s. Se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\},
então
\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s).
Breve justificativa: diferencio a integral que define F(s) em relação a s e uso diferenciação sob o sinal de integral:
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}\big(e^{-st}f(t)\big)\,dt = \int_{0}^{\infty} -t e^{-st} f(t)\,dt = -\mathcal{L}\{t f(t)\}.
Portanto \mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s). Vou aplicar isso ao caso f(t)=e^{a t}: como \mathcal{L}\{e^{a t}\}=\frac{1}{s-a}, temos
\mathcal{L}\{t e^{a t}\} = -\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right) = -\left(-\frac{1}{(s-a)^{2}}\right) = \frac{1}{(s-a)^{2}}.
Observe que a condição de convergência para \mathcal{L}\{t e^{a t}\} é \Re(s)>\Re(a).

Passo 5

Agora aplico a linearidade da transformada de Laplace ao somatório obtido no Passo 2. Temos três termos:
\mathcal{L}\{t e^{2t}\} = \frac{1}{(s-2)^{2}},\qquad \mathcal{L}\{2t e^{3t}\} = 2\cdot\frac{1}{(s-3)^{2}},\qquad \mathcal{L}\{t e^{4t}\} = \frac{1}{(s-4)^{2}}.
Somando:
F(s)=\mathcal{L}\{t(e^{t}+e^{2t})^{2}\} = \frac{1}{(s-2)^{2}} + \frac{2}{(s-3)^{2}} + \frac{1}{(s-4)^{2}}.
A região de convergência é determinada pelo maior crescimento exponencial presente na soma, que é e^{4t}. Portanto a transformada existe para
\Re(s)>4.

Resposta

F(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}}+\frac{2}{(s-3)^{2}}+\frac{1}{(s-4)^{2}},\qquad \Re(s)>4

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